[2,0] Um tanque misturador contém 50 L de água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{Cp}=4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) e está inicialmente a 25^{\circ} \mathrm{C}. Um aquecedor elétrico fornece potência constante de 1000 \mathrm{~W} . \mathrm{O} ambiente está a 20^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a taxa de variaçăo da temperatura da água em função do tempo (dT/dt).

Passo 1

O enunciado dá um tanque com 50\,\mathrm{L} de água (ou seja, volume V=0,05\,\mathrm{m}^3) a 25^\circ\mathrm{C}. Sabemos que \rho=1000\,\mathrm{kg/m}^3 e C_p=4180\,\mathrm{J/(kg\cdot K)}. Um aquecedor elétrico entrega potência constante P=1000\,\mathrm{W} e o ambiente está a T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
O que queremos: obter a taxa \dfrac{dT}{dt} da água a partir do balanço de energia (equação diferencial).

Passo 2

Calcular a massa de água e escrever o balanço de energia.
A massa é
m = \rho\,V = 1000\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times 0,05\;\mathrm{m}^3 = 50\;\mathrm{kg}.
Pelo princípio da conservação de energia para o fluido:
m\,C_p\,\frac{dT}{dt} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}.

Passo 3

Identificar termos de entrada e saída de calor:
  • Entrada do aquecedor: Q_{\text{in}} = P = 1000\,\mathrm{W}.
  • Saída para o ambiente (Lei de Newton do resfriamento):
Q_{\text{out}} = U\,A\,(T - T_\infty),
onde U\,A é o coeficiente global de troca térmica (não fornecido).

Passo 4

Substituindo no balanço e isolando \dfrac{dT}{dt}:
50\cdot 4180\;\frac{dT}{dt} =1000 - U\,A\,(T-20).
Logo
\frac{dT}{dt} =\frac{1000 - U\,A\,(T-20)}{50\cdot 4180}.
Se o tanque for considerado perfeitamente isolado U\,A=0, fica
\frac{dT}{dt} =\frac{1000}{50\cdot 4180} \approx 4{,}78\times10^{-3}\;\mathrm{K/s}.

Resposta

\frac{dT}{dt} =\frac{1000 - U\,A\,(T-20)}{50\cdot 4180} \quad\text{(em K/s)},
e, no caso adiabático U\,A=0,
\frac{dT}{dt}\approx 4{,}78\times10^{-3}\;\mathrm{K/s}.

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