[2.0pt] Determine o fluxo do campo vetorial
é parte da esfera
no primeiro octante, com orientação para a origem.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
.
A superfície é a parte da esfera
situada no primeiro octante (ou seja,
), com orientação apontando para a origem (orientação INward, para dentro da bola).
O que se pede: calcular o fluxo de através de
, isto é
A superfície
O que se pede: calcular o fluxo de
onde
é o versor normal da superfície seguindo a orientação dada.
Passo 2
Vou usar o Teorema da Divergência (Gauss) porque é mais simples: fechamos a superfície juntando
com as três faces planas do primeiro octante (
,
,
) formando uma superfície fechada
. O Teorema da Divergência transforma o fluxo sobre essa superfície fechada em uma integral de volume do divergente, o que costuma ser muito direto quando o divergente é simples (aqui será). Depois relaciono o fluxo através de
com o fluxo total pela superfície fechada e os fluxos pelas faces planas.
Passo 3
Enunciando o Teorema da Divergência: se
é o sólido limitado por uma superfície fechada orientada para fora, então
Aqui
é a região do interior da esfera de raio
no primeiro octante. A superfície fechada
é composta por quatro partes: a parte esférica
(com orientação naturalmente para fora da região
, ou seja, para fora da esfera) e as três faces planas
em
,
em
e
em
. Importante: o enunciado pede o fluxo com orientação para a origem (inward) sobre
; o Teorema usa orientação outward. Eu primeiro encontrarei o fluxo com orientação outward sobre a casca esférica e depois trocarei sinal se necessário.
Passo 4
Calculo o divergente de
. Por definição,
No nosso caso
. Portanto
Expliquei:
;
porque
é tratado como constante em derivação em relação a
;
.
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência,
Agora calculamos
: é o volume de uma esfera de raio
dividido por
(um octante). O volume da esfera de raio
é
. Para
isso dá
. Dividindo por
obtemos
Logo o fluxo total pela superfície fechada (orientada para fora) é
.
Passo 6
Escrevo a decomposição do fluxo pela superfície fechada:
Queremos o fluxo através de
com orientação para a origem (inward). Observe que
é o fluxo da esfera com orientação para fora; o enunciado pede a orientação contrária, portanto no final vou trocar o sinal. Antes, vamos calcular a contribuição de cada face plana
(todas com norma externa à região
).
Passo 7
Fluxo pela face
. Nessa face o vetor normal externo a
é
. Calculamos o produto escalar
Mas sobre
temos
, logo
em toda a face. Portanto
Passo 8
Fluxo pela face
. Nessa face o normal externo é
. Então
Na face
a região projetada no plano
é o disco de raio
restrito a
(um quarto de disco). O fluxo é
onde
. Uso coordenadas polares no plano
:
, com
,
, e
. Assim
Calculo as duas integrais separadamente:
. E
. Portanto
Passo 9
Fluxo pela face
. Nessa face o normal externo é
. Então
A região projetada no plano
é o quarto de disco
com
. Assim
Usando coordenadas polares no plano
:
,
,
,
. Então
Passo 10
Some as contribuições das três faces planas:
Logo a soma é
. Pela fórmula da Passo 6, o fluxo total pela superfície fechada é
Mas já calculamos que o lado esquerdo vale
(Passo 5). Assim o fluxo pela casca esférica com orientação para fora é
Passo 11
O enunciado pede o fluxo através de
com orientação apontando para a origem, isto é, a orientação INward. A orientação que usamos ao aplicar o Teorema (a da casca esférica outward) é a contrária. Portanto o fluxo pedido é o negativo do valor do Passo 10: