[2.0pt] Determine o fluxo do campo vetorial
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}-z \mathbf{j}+y \mathbf{k}
S é parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro octante, com orientação para a origem.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}-z\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k}.
A superfície S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 situada no primeiro octante (ou seja, x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0), com orientação apontando para a origem (orientação INward, para dentro da bola).
O que se pede: calcular o fluxo de \mathbf{F} através de S, isto é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
onde \mathbf{n} é o versor normal da superfície seguindo a orientação dada.

Passo 2

Vou usar o Teorema da Divergência (Gauss) porque é mais simples: fechamos a superfície juntando S com as três faces planas do primeiro octante ( x=0, y=0, z=0) formando uma superfície fechada \partial V. O Teorema da Divergência transforma o fluxo sobre essa superfície fechada em uma integral de volume do divergente, o que costuma ser muito direto quando o divergente é simples (aqui será). Depois relaciono o fluxo através de S com o fluxo total pela superfície fechada e os fluxos pelas faces planas.

Passo 3

Enunciando o Teorema da Divergência: se V é o sólido limitado por uma superfície fechada orientada para fora, então
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Aqui V é a região do interior da esfera de raio 2 no primeiro octante. A superfície fechada \partial V é composta por quatro partes: a parte esférica S (com orientação naturalmente para fora da região V, ou seja, para fora da esfera) e as três faces planas S_{x} em x=0, S_{y} em y=0 e S_{z} em z=0. Importante: o enunciado pede o fluxo com orientação para a origem (inward) sobre S; o Teorema usa orientação outward. Eu primeiro encontrarei o fluxo com orientação outward sobre a casca esférica e depois trocarei sinal se necessário.

Passo 4

Calculo o divergente de \mathbf{F}. Por definição,
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(F_x)+\frac{\partial}{\partial y}(F_y)+\frac{\partial}{\partial z}(F_z).
No nosso caso F_x=x,\;F_y=-z,\;F_z=y. Portanto
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(-z)+\frac{\partial}{\partial z}(y)=1+0+0=1.
Expliquei: \partial_x x=1; \partial_y(-z)=0 porque z é tratado como constante em derivação em relação a y; \partial_z y=0.

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência,
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}1\,dV=\text{Vol}(V).
Agora calculamos \text{Vol}(V): é o volume de uma esfera de raio 2 dividido por 8 (um octante). O volume da esfera de raio r é (4/3)\pi r^{3}. Para r=2 isso dá (4/3)\pi\cdot 2^{3}=(4/3)\pi\cdot 8=\tfrac{32\pi}{3}. Dividindo por 8 obtemos
\text{Vol}(V)=\frac{1}{8}\cdot\frac{32\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.
Logo o fluxo total pela superfície fechada (orientada para fora) é \dfrac{4\pi}{3}.

Passo 6

Escrevo a decomposição do fluxo pela superfície fechada:
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S_{\text{esfera,out}}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS +\iint_{S_{x}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS +\iint_{S_{y}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS +\iint_{S_{z}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Queremos o fluxo através de S com orientação para a origem (inward). Observe que \iint_{S_{\text{esfera,out}}} é o fluxo da esfera com orientação para fora; o enunciado pede a orientação contrária, portanto no final vou trocar o sinal. Antes, vamos calcular a contribuição de cada face plana S_x,S_y,S_z (todas com norma externa à região V).

Passo 7

Fluxo pela face x=0. Nessa face o vetor normal externo a V é \mathbf{n}=(-1,0,0). Calculamos o produto escalar
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=(x,-z,y)\cdot(-1,0,0)=-x.
Mas sobre x=0 temos x=0, logo \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0 em toda a face. Portanto
\iint_{S_{x}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=0.

Passo 8

Fluxo pela face y=0. Nessa face o normal externo é \mathbf{n}=(0,-1,0). Então
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=(x,-z,y)\cdot(0,-1,0)=z.
Na face y=0 a região projetada no plano xz é o disco de raio 2 restrito a x\ge0,z\ge0 (um quarto de disco). O fluxo é
\iint_{S_{y}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D_{xz}} z\,dA,
onde D_{xz}=\{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 4,\\ x\ge0,\\ z\ge0\}. Uso coordenadas polares no plano xz: x=r\cos\theta,\\ z=r\sin\theta, com r\in[0,2], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], e dA=r\,dr\,d\theta. Assim
\iint_{D_{xz}} z\,dA=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\right).
Calculo as duas integrais separadamente: \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=[- \cos\theta]_{0}^{\pi/2}=1. E \int_{0}^{2} r^{2}\,dr=[r^{3}/3]_{0}^{2}=8/3. Portanto
\iint_{S_{y}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\frac{8}{3}.

Passo 9

Fluxo pela face z=0. Nessa face o normal externo é \mathbf{n}=(0,0,-1). Então
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=(x,-z,y)\cdot(0,0,-1)=-y.
A região projetada no plano xy é o quarto de disco x^{2}+y^{2}\le4 com x\ge0,y\ge0. Assim
\iint_{S_{z}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D_{xy}} (-y)\,dA.
Usando coordenadas polares no plano xy: x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, r\in[0,2], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], dA=r\,dr\,d\theta. Então
\iint_{D_{xy}} (-y)\,dA=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} (-r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =-\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\right) =-\frac{8}{3}.

Passo 10

Some as contribuições das três faces planas:
\iint_{S_x}\cdots = 0,\qquad \iint_{S_y}\cdots = \frac{8}{3},\qquad \iint_{S_z}\cdots = -\frac{8}{3}.
Logo a soma é 0. Pela fórmula da Passo 6, o fluxo total pela superfície fechada é
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S_{\text{esfera,out}}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS + 0.
Mas já calculamos que o lado esquerdo vale \dfrac{4\pi}{3} (Passo 5). Assim o fluxo pela casca esférica com orientação para fora é
\iint_{S_{\text{esfera,out}}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\frac{4\pi}{3}.

Passo 11

O enunciado pede o fluxo através de S com orientação apontando para a origem, isto é, a orientação INward. A orientação que usamos ao aplicar o Teorema (a da casca esférica outward) é a contrária. Portanto o fluxo pedido é o negativo do valor do Passo 10:
\iint_{S_{\text{esfera,inward}}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =-\iint_{S_{\text{esfera,out}}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =-\frac{4\pi}{3}.

Resposta

-\dfrac{4\pi}{3}

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