[2.0 pt ] Determine o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, através da superfície S delimitada pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano x y.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\mathbf{i}+x y\mathbf{j}+z\mathbf{k} através da superfície S que é delimitada pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano x y (ou seja, pelo plano z=0). Informações relevantes extraídas do enunciado:
A superfície S é a superfície fechada formada pelo paraboloide \;z=4-x^{2}-y^{2}\; acima e pelo disco no plano \;z=0\; onde os dois se encontram.
A interseção entre o paraboloide e o plano ocorre quando 4-x^{2}-y^{2}=0, ou seja no círculo \;x^{2}+y^{2}=4\; (raio 2).
O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\mathbf{i}+x y\mathbf{j}+z\mathbf{k}.
A pergunta principal: calcular o fluxo total de \mathbf{F} através de S (orientação implícita: fluxo para fora do volume delimitado por S).
Passo 2
Escolha do método. Como S é uma superfície fechada que limita um volume V (a região abaixo do paraboloide e acima de z=0), o Teorema da Divergência (Gauss) é a ferramenta mais prática: ele transforma o fluxo de superfície fechado numa integral tripla da divergência sobre o volume. Isso evita parametrizar separadamente o paraboloide e o disco. O Teorema da Divergência diz:
onde \mathbf{n} é a normal exterior e \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}. Vou usar esse teorema porque simplifica muito os cálculos quando o volume é bem descrito em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Calcular a divergência de \mathbf{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
Breve comentário didático: a divergência mede, num certo sentido, a “taxa de saída” do campo por unidade de volume. Aqui ela depende linearmente de x mais uma constante.
Passo 4
Descrição do volume V e mudança para coordenadas cilíndricas. O volume V é a região abaixo de \;z=4-x^{2}-y^{2}\; e acima de \;z=0\;. A projeção desse volume no plano xy é o disco \;x^{2}+y^{2}\le 4\;. Em coordenadas cilíndricas usamos:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
com r\in[0,2], \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,4-r^{2}]. O elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Em coordenadas cilíndricas a divergência fica \nabla\cdot\mathbf{F}=3x+1=3r\cos\theta+1.
Passo 5
Montar a integral tripla pelo Teorema da Divergência. Assim o fluxo é
Subtraindo: 8-4=4. Agora multiplicamos pelo fator angular \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, obtendo o fluxo total
2\pi\cdot 4=8\pi.
Passo 8
Conclusão final e interpretação. Pelo Teorema da Divergência e pelos cálculos acima, o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S (orientada externamente) é \;8\pi. Bom trabalho — você usou o fato de que termos ímpares em \cos\theta desaparecem ao integrar sobre um círculo, o que simplificou bastante a conta!