[2.0 pt ] Determine o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, através da superfície S delimitada pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\mathbf{i}+x y\mathbf{j}+z\mathbf{k} através da superfície S que é delimitada pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano x y (ou seja, pelo plano z=0). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície S é a superfície fechada formada pelo paraboloide \;z=4-x^{2}-y^{2}\; acima e pelo disco no plano \;z=0\; onde os dois se encontram.
  • A interseção entre o paraboloide e o plano ocorre quando 4-x^{2}-y^{2}=0, ou seja no círculo \;x^{2}+y^{2}=4\; (raio 2).
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\mathbf{i}+x y\mathbf{j}+z\mathbf{k}.
  • A pergunta principal: calcular o fluxo total de \mathbf{F} através de S (orientação implícita: fluxo para fora do volume delimitado por S).

Passo 2

Escolha do método. Como S é uma superfície fechada que limita um volume V (a região abaixo do paraboloide e acima de z=0), o Teorema da Divergência (Gauss) é a ferramenta mais prática: ele transforma o fluxo de superfície fechado numa integral tripla da divergência sobre o volume. Isso evita parametrizar separadamente o paraboloide e o disco. O Teorema da Divergência diz:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde \mathbf{n} é a normal exterior e \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}. Vou usar esse teorema porque simplifica muito os cálculos quando o volume é bem descrito em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Calcular a divergência de \mathbf{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(x y)+\frac{\partial}{\partial z}(z).
Calculando cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(x y)=x,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(z)=1.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{F}=2x+x+1=3x+1.
Breve comentário didático: a divergência mede, num certo sentido, a “taxa de saída” do campo por unidade de volume. Aqui ela depende linearmente de x mais uma constante.

Passo 4

Descrição do volume V e mudança para coordenadas cilíndricas. O volume V é a região abaixo de \;z=4-x^{2}-y^{2}\; e acima de \;z=0\;. A projeção desse volume no plano xy é o disco \;x^{2}+y^{2}\le 4\;. Em coordenadas cilíndricas usamos:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
com r\in[0,2], \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,4-r^{2}]. O elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Em coordenadas cilíndricas a divergência fica \nabla\cdot\mathbf{F}=3x+1=3r\cos\theta+1.

Passo 5

Montar a integral tripla pelo Teorema da Divergência. Assim o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}(3r\cos\theta+1)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z de 0 até 4-r^{2}, o que multiplica o integrando pela altura (4-r^{2}). Então obtemos a integral dupla
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(3r\cos\theta+1\bigr)\,r\,(4-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Simplificar o integrando e separar termos. Multiplicando r por (3r\cos\theta+1) 3r^{2}\cos\theta + r. Multiplicando por (4-r^{2}) obtemos
\bigl(3r^{2}\cos\theta + r\bigr)(4-r^{2})=12r^{2}\cos\theta-3r^{4}\cos\theta+4r-r^{3}.
Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi. Observe que os termos que contêm \cos\theta têm integral zero sobre 0 a 2\pi, porque
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0.
Portanto apenas os termos sem \cos\theta sobrevivem ao integrar em \theta. Assim a integral reduz para
\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta\int_{0}^{2}\bigl(4r-r^{3}\bigr)\,dr.

Passo 7

Calcular a integral radial e multiplicar por 2\pi. Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2}(4r-r^{3})\,dr=\int_{0}^{2}4r\,dr-\int_{0}^{2}r^{3}\,dr.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{2}4r\,dr=4\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=4\cdot\frac{4}{2}=4\cdot2=8,
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{2}=\frac{16}{4}=4.
Subtraindo: 8-4=4. Agora multiplicamos pelo fator angular \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, obtendo o fluxo total
2\pi\cdot 4=8\pi.

Passo 8

Conclusão final e interpretação. Pelo Teorema da Divergência e pelos cálculos acima, o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S (orientada externamente) é \;8\pi. Bom trabalho — você usou o fato de que termos ímpares em \cos\theta desaparecem ao integrar sobre um círculo, o que simplificou bastante a conta!

Resposta

8\pi

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