[2,5] Alguns membros da tripulação tentam escapar de um submarino avariado a 150 m abaixo da superficie do oceano (suponha a densidade da água do mar igual a 1024 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). (a) Qual a pressão a esta profundidade? (b) Que força deve ser aplicada a uma escotilha, de 1,00 \mathrm{~m} por 0,500 \mathrm{~m}, supondo que a pressão do ar no interior do submarino é 1,00 \mathrm{~atm} ?

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Profundidade: \,h=150\\ \mathrm{m}.
    • Densidade da água do mar: \,\rho=1024\\ \mathrm{kg/m^{3}} (peguei do enunciado).
    • Aceleração da gravidade: vou usar \,g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).
    • Pressão do ar no interior do submarino: \,p_{\text{int}}=1{,}00\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (o enunciado dá 1,00 atm).
    • Dimensões da escotilha: \,1{,}00\\ \mathrm{m}\times0{,}500\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Qual a pressão a esta profundidade?
    (b) Que força deve ser aplicada a uma escotilha de 1{,}00\\ \mathrm{m}\times0{,}500\\ \mathrm{m}, dada a pressão interna de 1{,}00\\ \mathrm{atm}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Pressão hidrostática: a água exerce uma pressão extra com a profundidade. A pressão absoluta a uma profundidade h é a soma da pressão na superfície (normalmente a pressão atmosférica) com a pressão devida ao peso da coluna de água acima. A fórmula é
p_{\text{out}} = p_{0} + \rho g h.
Aqui:
  • p_{\text{out}} é a pressão absoluta no ponto a profundidade h (em \mathrm{Pa});
  • p_{0} é a pressão na superfície (vou tomar p_{0}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, que é 1{,}00\\ \mathrm{atm} em Pa);
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}});
  • h é a profundidade ( \mathrm{m}).
  • Força sobre a escotilha: a força resultante que devemos aplicar para abrir a escotilha é a diferença de pressão multiplicada pela área:
F = \left(p_{\text{out}}-p_{\text{int}}\right) A,
onde:
  • p_{\text{int}} é a pressão dentro do submarino;
  • A é a área da escotilha.
Observação didática rápida: se p_{\text{int}}=p_{0} e p_{0} é a pressão ao nível do mar, então p_{\text{out}}-p_{\text{int}}=\rho g h. Então, em muitos problemas práticos, a diferença de pressão é simplesmente a pressão hidrostática \rho g h.

Passo 3

Calcular a pressão hidrostática \rho g h (a parte da pressão devido à coluna de água):
Escrevendo a expressão:
\rho g h = 1024\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}\times 150\\ \mathrm{m}.
Fazendo as contas passo a passo:
1024\times 9{,}80 = 10\,035{,}2,
10\,035{,}2\times 150 = 1\,505\,280\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a pressão devida apenas à coluna de água é
\rho g h = 1\,505\,280\\ \mathrm{Pa} \approx 1{,}50528\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a pressão absoluta a h=150\\ \mathrm{m} somando a pressão atmosférica da superfície:
Usando
p_{\text{out}} = p_{0} + \rho g h,
com p_{0}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e \rho g h calculado acima:
p_{\text{out}} = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} + 1\,505\,280\\ \mathrm{Pa} = 1\,606\,580\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para atmosferas (para intuição):
1\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\quad\Rightarrow\quad \frac{1\,606\,580}{1{,}013\times10^{5}}\approx 15{,}86\\ \mathrm{atm}.
Resumo desse passo: a pressão absoluta no ponto a 150\\ \mathrm{m} é 1{,}606\,580\\ \mathrm{Pa}, ou aproximadamente 15{,}86\\ \mathrm{atm}.

Passo 5

Calcular a área da escotilha e explicar por que usamos a diferença de pressão:
  • Área da escotilha:
A = 1{,}00\\ \mathrm{m}\times 0{,}500\\ \mathrm{m} = 0{,}500\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A força necessária para vencer a pressão externa é a diferença entre a pressão externa no nível da escotilha e a pressão interna, multiplicada pela área. Como a pressão interna é p_{\text{int}}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, a diferença é
\Delta p = p_{\text{out}}-p_{\text{int}} = \rho g h
(exatamente o valor calculado no Passo 3), porque a componente atmosférica cancela com a pressão interna de 1{,}00\\ \mathrm{atm}.

Passo 6

Calcular a força numérica passo a passo:
Usando
F = \Delta p\;A = (\rho g h)\;A.
Substituindo os números:
F = 1\,505\,280\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}500\\ \mathrm{m^{2}} = 752\,640\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos:
F \approx 7{,}53\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Interpretação física (curta e prática): essa é a força que o ambiente externo (água) empurra para fechar a escotilha. Para abrir a escotilha contra a água, é preciso aplicar uma força no sentido oposto (para fora) de magnitude pelo menos 7{,}53\times10^{5}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Resumo final e incentivo: obtivemos a pressão total no fundo e a força necessária sobre a escotilha. Eu sei que esses números gigantes parecem assustadores — mostram por que abrir uma escotilha submersa é praticamente impossível sem equalizar pressões. Vai dar tudo certo nos estudos: foque em memorizar a fórmula p=p_{0}+\rho g h e a ideia de diferença de pressão para força, e esse tipo de problema fica bem automático.

Resposta

(a) p_{\text{out}} = 1{,}606\,580\\ \mathrm{Pa} \approx 15{,}86\\ \mathrm{atm}
(b) F = 7{,}52640\times10^{5}\\ \mathrm{N} \approx 7{,}53\times10^{5}\\ \mathrm{N} (direção: força para fora necessária para vencer a pressão externa)

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