Problema 10. Considere o triângulo ABC de área igual a
tal que
. Sabendo que o menor perímetro desse triângulo ABC é igual a M , determine o valor de
em cm .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Área do triângulo
: . - Relação entre os senos dos ângulos:
- Pergunta: sabendo que o menor perímetro desse triângulo é igual a
, determinar o valor de em centímetros.
Informações relevantes que irei usar (já anotadas):
- vou usar as relações que ligam os lados, o raio circunscrito
e os senos dos ângulos, e a expressão da área em função de e dos senos.
Passo 2
Defino os lados opostos aos ângulos como
(opostos a
) e o raio circunscrito como
. Há fórmulas clássicas que vou usar e que explico rapidamente:
-
Fórmula ligando lado e seno através do raio circunscrito:Explicação curta: como
(lei dos senos), multiplicando obtemos . -
Perímetro
em função de e dos senos: -
Área
em função de : Substituindoetc. temos Simplificando:
Essas duas expressões (
e
em termos de
e dos senos) são centrais para relacionar o perímetro com a condição dada.
Passo 3
Uso a condição do enunciado. Denoto
A condição é
Substituo isso na fórmula da área
:
Dessa igualdade isolo
em função de
e
:
Agora volto ao perímetro
:
Portanto, para este problema o perímetro do triângulo pode ser escrito como
Como
é fixo, minimizar
equivale a maximizar
sob as condições geométricas impostas pelos ângulos.
Passo 4
Para ver qual é o maior
possível precisamos entender quais valores
(soma dos senos) podem assumir, lembrando que
e
não são independentes: já temos
.
Faço a mudança
. Então
e satisfazem
Para um dado
, pela desigualdade de AM-GM (média aritmética ≥ média geométrica) tem-se
Como
, a condição torna-se
Como
podemos dividir por
e obter
Logo
Além disso, a igualdade na AM-GM (que dá o menor
possível compatível com
) ocorre quando
. Portanto o menor
admissível é
ocorrendo quando
, ou seja quando
— isso corresponde ao caso do triângulo equilátero (
).
Passo 5
Como
, o menor valor de
corresponde ao maior valor possível de
. Tomando
obtemos
:
Portanto
Passo 6
Uso a fórmula
. Substituindo
:
Faço a simplificação passo a passo:
Agora substituo
:
Logo
Portanto
Observação adicional (checagem): no caso de igualdade anterior o triângulo é equilátero, com lado
tal que a área é
. Dessa equação segue
e
, então o perímetro é
, consistente com o resultado.