Problema 10. Considere o triângulo ABC de área igual a 144 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} tal que \frac{\operatorname{sen}(A) \operatorname{sen}(B) \operatorname{sen}\text{(C)}}{\operatorname{sen}(A)+\operatorname{sen}(B)+\operatorname{sen}\text{(C)}}=\frac{1}{4}. Sabendo que o menor perímetro desse triângulo ABC é igual a M , determine o valor de M em cm .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Área do triângulo ABC: K=144\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
  • Relação entre os senos dos ângulos: \frac{\sin A\;\sin B\;\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}=\frac{1}{4}.
  • Pergunta: sabendo que o menor perímetro desse triângulo é igual a M, determinar o valor de M em centímetros.
Informações relevantes que irei usar (já anotadas):
  • vou usar as relações que ligam os lados, o raio circunscrito R e os senos dos ângulos, e a expressão da área em função de R e dos senos.

Passo 2

Defino os lados opostos aos ângulos como a,b,c (opostos a A,B,C) e o raio circunscrito como R. Há fórmulas clássicas que vou usar e que explico rapidamente:
  • Fórmula ligando lado e seno através do raio circunscrito:
    a=2R\sin A,\qquad b=2R\sin B,\qquad c=2R\sin C.
    Explicação curta: como a/ \sin A = 2R (lei dos senos), multiplicando obtemos a=2R\sin A.
  • Perímetro P em função de R e dos senos:
    P=a+b+c=2R(\sin A+\sin B+\sin C).
  • Área K em função de a,b,c,R:
    K=\frac{abc}{4R}.
    Substituindo a=2R\sin A etc. temos
    K=\frac{(2R\sin A)(2R\sin B)(2R\sin C)}{4R}.
    Simplificando:
    K=2R^2(\sin A\sin B\sin C).
Essas duas expressões ( P e K em termos de R e dos senos) são centrais para relacionar o perímetro com a condição dada.

Passo 3

Uso a condição do enunciado. Denoto
S=\sin A+\sin B+\sin C,\qquad P_s=\sin A\sin B\sin C.
A condição é
\frac{P_s}{S}=\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad P_s=\frac{S}{4}.
Substituo isso na fórmula da área K=2R^2 P_s:
K=2R^2\cdot\frac{S}{4}=\frac{R^2 S}{2}.
Dessa igualdade isolo S em função de R e K:
S=\frac{2K}{R^2}.
Agora volto ao perímetro P:
P=2R S=2R\cdot\frac{2K}{R^2}=\frac{4K}{R}.
Portanto, para este problema o perímetro do triângulo pode ser escrito como
P(R)=\frac{4K}{R}.
Como K é fixo, minimizar P equivale a maximizar R sob as condições geométricas impostas pelos ângulos.

Passo 4

Para ver qual é o maior R possível precisamos entender quais valores S (soma dos senos) podem assumir, lembrando que S e P_s não são independentes: já temos P_s=S/4.
Faço a mudança x=\sin A,\; y=\sin B,\; z=\sin C. Então x,y,z>0 e satisfazem
x+y+z=S,\qquad xyz=\frac{S}{4}.
Para um dado S>0, pela desigualdade de AM-GM (média aritmética ≥ média geométrica) tem-se
\frac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}\quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{S}{3}\right)^3\ge xyz.
Como xyz=\dfrac{S}{4}, a condição torna-se
\left(\frac{S}{3}\right)^3\ge\frac{S}{4}.
Como S>0 podemos dividir por S e obter
\frac{S^2}{27}\ge\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad S^2\ge\frac{27}{4}.
Logo
S\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Além disso, a igualdade na AM-GM (que dá o menor S possível compatível com xyz=S/4) ocorre quando x=y=z. Portanto o menor S admissível é
S_{\min}=\frac{3\sqrt{3}}{2},
ocorrendo quando x=y=z, ou seja quando \sin A=\sin B=\sin C — isso corresponde ao caso do triângulo equilátero ( A=B=C=\pi/3).

Passo 5

Como S=\dfrac{2K}{R^2}, o menor valor de S corresponde ao maior valor possível de R^2. Tomando S=S_{\min} obtemos R_{\max}^2:
R_{\max}^2=\frac{2K}{S_{\min}}=\frac{2K}{\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,}=\frac{4K}{3\sqrt{3}}.
Portanto
R_{\max}=\sqrt{\frac{4K}{3\sqrt{3}}}.

Passo 6

Uso a fórmula P_{\min}=\dfrac{4K}{R_{\max}}. Substituindo R_{\max}:
P_{\min}=\frac{4K}{\sqrt{\dfrac{4K}{3\sqrt{3}}}}.
Faço a simplificação passo a passo:
P_{\min}=4K\cdot\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{4K}}=4K\cdot\frac{\sqrt{3\sqrt{3}}}{\sqrt{4K}}.
P_{\min}=4K\cdot\frac{\sqrt{3\sqrt{3}}}{2\sqrt{K}}=2\sqrt{K}\,\sqrt{3\sqrt{3}}.
Agora substituo K=144\sqrt{3}:
K\cdot 3\sqrt{3}=144\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=144\cdot 3\cdot 3=144\cdot 9=1296.
Logo
\sqrt{K\cdot 3\sqrt{3}}=\sqrt{1296}=36.
Portanto
P_{\min}=2\cdot 36=72.
Observação adicional (checagem): no caso de igualdade anterior o triângulo é equilátero, com lado a tal que a área é \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=144\sqrt{3}. Dessa equação segue a^2=576 e a=24, então o perímetro é 3\cdot 24=72, consistente com o resultado.

Resposta

M=72\\ \text{cm}

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