Problema 09. Se a é o número real que satisfaz
. Sabendo que o valor de
sena
sena.
pode ser escrito da forma
onde
e
são números inteiros primos entre si, calcule o valor de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que se calcule o valor da expressão
essa expressão pode ser escrita na forma
com
inteiros primos entre si; o objetivo final é calcular
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O número
corresponde a . - Vamos usar as quantidades
e como variáveis auxiliares para simplificar os cálculos.
Passo 2
Defino duas variáveis auxiliares para simplificar a escrita:
Explico duas identidades que vamos usar (mostrando de onde vêm):
- Soma dos cubos:
Isto é a identidade geral
, aplicada a
,
.
- Relação entre
e vinda de :
Portanto
Passo 3
Substituo a identidade da soma dos cubos na equação dada. Usando
no lugar de
, temos
Agora uso a relação
para reescrever
. Como
, obtemos:
Faço as contas dentro:
Passo 4
A equação agora é linear em
; isolo
:
Mas também sabemos que
. Igualando as duas expressões para
obtém-se uma equação apenas em
:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Desenvolvendo os dois lados (faço passo a passo para não perder conta):
- Esquerda:
. - Direita:
.
Então
Levo tudo para um lado:
Multiplicando por
e por
para limpar frações:
Passo 5
Agora procuro raízes racionais simples para esse polinômio. Como
deve satisfazer
, é natural testar frações simples dentro desse intervalo. Tento
e verifico diretamente na forma anterior mais simples (antes de multiplicar), isto é, na equação
Substituindo
:
Calculo passo a passo:
Logo
é de fato uma raiz válida.
Passo 6
Com
calculo
por
:
Passo 7
Finalmente calculo a expressão pedida:
Substituo
e
:
Assim a expressão vale
. Os inteiros
e
são primos entre si, logo
.
Resposta
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