Problema 09. Se a é o número real que satisfaz 5\left(\operatorname{sen}^{3} a+\cos ^{3} a\right)+3 \operatorname{sen} a \cos a=0,04. Sabendo que o valor de 5( sena +\cos a)+2 sena. \cos a pode ser escrito da forma \frac{p}{q} onde p e q são números inteiros primos entre si, calcule o valor de p+q.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
5\bigl(\operatorname{sen}^3 a+\cos^3 a\bigr)+3\operatorname{sen}a\cos a=0,04
e pede que se calcule o valor da expressão
5(\operatorname{sen}a+\cos a)+2\operatorname{sen}a\cos a
essa expressão pode ser escrita na forma \dfrac{p}{q} com p,q inteiros primos entre si; o objetivo final é calcular p+q.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O número 0,04 corresponde a \dfrac{1}{25}.
  • Vamos usar as quantidades \operatorname{sen}a+\cos a e \operatorname{sen}a\cos a como variáveis auxiliares para simplificar os cálculos.

Passo 2

Defino duas variáveis auxiliares para simplificar a escrita:
s=\operatorname{sen}a+\cos a,\qquad t=\operatorname{sen}a\cos a.
Explico duas identidades que vamos usar (mostrando de onde vêm):
  1. Soma dos cubos:
\operatorname{sen}^3 a+\cos^3 a=(\operatorname{sen}a+\cos a)^3-3\operatorname{sen}a\cos a(\operatorname{sen}a+\cos a).
Isto é a identidade geral x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y), aplicada a x=\operatorname{sen}a, y=\cos a.
  1. Relação entre s e t vinda de \operatorname{sen}^2 a+\cos^2 a=1:
s^2=(\operatorname{sen}a+\cos a)^2=\operatorname{sen}^2 a+\cos^2 a+2\operatorname{sen}a\cos a=1+2t.
Portanto
t=\frac{s^2-1}{2}.

Passo 3

Substituo a identidade da soma dos cubos na equação dada. Usando \dfrac{1}{25} no lugar de 0,04, temos
5\bigl(s^3-3ts\bigr)+3t=\frac{1}{25}.
Agora uso a relação s^2=1+2t para reescrever s^3. Como s^3=s\cdot s^2=s(1+2t)=s+2st, obtemos:
5\bigl(s+2st\bigr)-15st+3t=\frac{1}{25}.
Faço as contas dentro:
5s+10st-15st+3t=\frac{1}{25}\quad\Rightarrow\quad 5s-5st+3t=\frac{1}{25}.

Passo 4

A equação agora é linear em t; isolo t:
(-5s+3)t=\frac{1}{25}-5s \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\dfrac{1}{25}-5s}{3-5s}.
Mas também sabemos que t=\dfrac{s^2-1}{2}. Igualando as duas expressões para t obtém-se uma equação apenas em s:
\frac{s^2-1}{2}=\frac{\dfrac{1}{25}-5s}{3-5s}.
Multiplico ambos os lados por 2(3-5s) para eliminar denominadores:
( s^2-1)(3-5s)=2\Bigl(\frac{1}{25}-5s\Bigr).
Desenvolvendo os dois lados (faço passo a passo para não perder conta):
  • Esquerda: (s^2-1)(3-5s)=3s^2-5s^3-3+5s.
  • Direita: 2\bigl(\tfrac{1}{25}-5s\bigr)=\tfrac{2}{25}-10s.
    Então
3s^2-5s^3-3+5s=\frac{2}{25}-10s.
Levo tudo para um lado:
-5s^3+3s^2+5s+10s-3-\frac{2}{25}=0,
-5s^3+3s^2+15s-\frac{77}{25}=0.
Multiplicando por -1 e por 25 para limpar frações:
125s^3-75s^2-375s+77=0.

Passo 5

Agora procuro raízes racionais simples para esse polinômio. Como s=\operatorname{sen}a+\cos a deve satisfazer |s|\le\sqrt{2}, é natural testar frações simples dentro desse intervalo. Tento s=\dfrac{1}{5} e verifico diretamente na forma anterior mais simples (antes de multiplicar), isto é, na equação
-5s^3+3s^2+15s-\frac{77}{25}=0.
Substituindo s=\dfrac{1}{5}:
-5\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^3+3\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^2+15\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)-\frac{77}{25} =-5\cdot\frac{1}{125}+3\cdot\frac{1}{25}+3-\frac{77}{25}.
Calculo passo a passo:
-\,\frac{5}{125}+\frac{3}{25}+3-\frac{77}{25}=-\frac{1}{25}+\frac{3}{25}-\frac{77}{25}+3 =\frac{-1+3-77}{25}+3=\frac{-75}{25}+3=-3+3=0.
Logo s=\dfrac{1}{5} é de fato uma raiz válida.

Passo 6

Com s=\dfrac{1}{5} calculo t por t=\dfrac{s^2-1}{2}:
t=\frac{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2-1}{2}=\frac{\dfrac{1}{25}-1}{2}=\frac{-\dfrac{24}{25}}{2}=-\frac{12}{25}.

Passo 7

Finalmente calculo a expressão pedida:
5(\operatorname{sen}a+\cos a)+2\operatorname{sen}a\cos a=5s+2t.
Substituo s=\dfrac{1}{5} e t=-\dfrac{12}{25}:
5s+2t=5\cdot\frac{1}{5}+2\cdot\left(-\frac{12}{25}\right)=1-\frac{24}{25}=\frac{1}{25}.
Assim a expressão vale \dfrac{1}{25}. Os inteiros p=1 e q=25 são primos entre si, logo p+q=1+25=26.

Resposta

26

Exercícios relacionados