[2,5] Uma garrafa térmica contém 200,0 \mathrm{ml} de água ( \rho_{\text {água }}=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{ml}á ) a 80,0^{\circ} \mathrm{C}. (a) Determine a massa de gelo a 0,0^{\circ} \mathrm{C} necessária para obter água a 20,0^{\circ} \mathrm{C}, considerando um sistema isolado termicamente. Qual o calor trocado entre (b) a água e (c) o gelo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume de água inicial: 200,0\\ \mathrm{ml}.
    • Densidade da água: \rho_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{g/ml}á.
    • Temperatura inicial da água: 80,0^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do gelo inicial: 0,0^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final desejada do sistema: 20,0^\circ\mathrm{C}.
    • O sistema é termicamente isolado (nenhum calor entra ou sai do conjunto água+gelo).
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Determinar a massa de gelo necessária para obter água a 20,0^\circ\mathrm{C}.
    (b) Calcular o calor trocado pela água.
    (c) Calcular o calor trocado pelo gelo.

Passo 2

Constantes e definições que vamos usar (explicando o que são):
  • Calor específico da água: c_{\text{água}}=4,18\\ \mathrm{J/(g\cdot ^\circ C)}á.
    • Isto significa que para aquecer 1\\ \mathrm{g} de água em 1^\circ\mathrm{C} são necessários 4,18\\ \mathrm{J}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f=334\\ \mathrm{J/g}.
    • Isto significa que para fundir 1\\ \mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} é preciso fornecer 334\\ \mathrm{J} sem variar a temperatura durante a fusão.
Essas constantes são usuais em problemas de calorimetria; aqui vamos usá‑las para calcular trocas de energia.

Passo 3

Calcular a massa da água inicial (mostrando passo a passo):
  • A massa da água é dada por m_{\text{água}}=\rho_{\text{água}}\cdot Váá.
  • Substituindo: m_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{g/ml}\times 200,0\\ \mathrm{ml}=200,0\\ \mathrm{g}.á
Então a água quente tem massa 200,0\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Montar o balanço de energia (explicando sinais e cada termo):
  • Como o sistema é isolado, a soma dos calores trocados é zero:
    Q_{\text{água}} + Q_{\text{gelo}} = 0.á
  • Definição dos termos:
    • Q_{\text{água}}á é o calor trocado pela água que vai de 80,0^\circ\mathrm{C} para 20,0^\circ\mathrm{C}. Pela convenção aqui, se a água perde calor Q_{\text{água}}<0á.
    • Q_{\text{gelo}} é o calor ganho pelo gelo: primeiro o gelo funde (energia m\cdot L_f), depois a água resultante aquece de 0,0^\circ\mathrm{C} até 20,0^\circ\mathrm{C} (energia m\cdot c_{\text{água}}\cdot 20,0á). Como o gelo recebe calor, Q_{\text{gelo}}>0.
  • Fórmulas:
    Q_{\text{água}} = m_{\text{água}}\cdot c_{\text{água}}\cdot (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial, água}})áááá
Q_{\text{gelo}} = m\cdot L_f + m\cdot c_{\text{água}}\cdot (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial, gelo}})á
onde m é a massa de gelo que queremos achar. Substituindo T_{\text{final}}=20,0^\circ\mathrm{C}, T_{\text{inicial, água}}=80,0^\circ\mathrm{C}á e T_{\text{inicial, gelo}}=0,0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular numericamente Q_{\text{água}}á (passo a passo, sem pular contas):
  • Primeiro a variação de temperatura da água: T_{\text{final}}-T_{\text{inicial, água}}=20,0-80,0=-60,0\\ ^\circ\mathrm{C}á.
  • Aplicando a fórmula: Q_{\text{água}} = 200,0\cdot 4,18\cdot (-60,0).á
  • Calculemos em etapas: 4,18\cdot 60,0 = 250,8,
200,0\cdot 250,8 = 50\,160.
  • Como foi multiplicado por -60,0, o sinal é negativo: Q_{\text{água}} = -50\,160\\ \mathrm{J}.á
  • Em quilojoules: Q_{\text{água}} = -50,16\\ \mathrm{kJ}á.
Isto significa que a água cedeu 50\,160\\ \mathrm{J} de energia ao restante do sistema.

Passo 6

Expressar Q_{\text{gelo}} e resolver para m:
  • Escrevendo Q_{\text{gelo}}: Q_{\text{gelo}} = m\cdot L_f + m\cdot c_{\text{água}}\cdot 20,0.á
  • Agrupando m: Q_{\text{gelo}} = m\left(L_f + c_{\text{água}}\cdot 20,0\right).á
  • Substituindo constantes: Q_{\text{gelo}} = m\left(334 + 4,18\cdot 20,0\right)\\ \mathrm{J}.
  • Calcular 4,18\cdot 20,0 = 83,6. Então Q_{\text{gelo}} = m\cdot (334 + 83,6) = m\cdot 417,6\\ \mathrm{J}.
  • Pelo balanço Q_{\text{água}} + Q_{\text{gelo}} = 0á, temos -50\,160 + m\cdot 417,6 = 0 \quad\Rightarrow\quad m = \frac{50\,160}{417,6}.
  • Calculando: m \approx 120,1149\\ \mathrm{g}.
  • Arredondando de forma coerente com os dados (temos 4 dígitos em 200,0 e 80,0), podemos dar m=120,1\\ \mathrm{g} (ou 120,11\\ \mathrm{g} se quisermos mais cifras). Vou reportar m=120,1\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Verificação e decomposição do calor ganho pelo gelo (útil para entender o que aconteceu):
  • Calor usado para fundir o gelo: Q_{\text{fusão}} = m\cdot L_f \approx 120,1149\cdot 334 \approx 40\,112\\ \mathrm{J}.ã
  • Calor usado para aquecer a água resultante de 0,0^\circ\mathrm{C} até 20,0^\circ\mathrm{C}: Q_{\text{aquecimento}} = m\cdot c_{\text{água}}\cdot 20,0 \approx 120,1149\cdot 4,18\cdot 20,0 \approx 10\,048\\ \mathrm{J}.á
  • Soma: Q_{\text{gelo}} = Q_{\text{fusão}} + Q_{\text{aquecimento}} \approx 40\,112 + 10\,048 = 50\,160\\ \mathrm{J},ãque coincide com |Q_{\text{água}}|á, confirmando o balanço de energia.

Resposta

(a) m=120,1\\ \mathrm{g}
(b) Q_{\text{água}}=-50\,160\\ \mathrm{J} = -50,16\\ \mathrm{kJ}á
(c) Q_{\text{gelo}}=+50\,160\\ \mathrm{J} = +50,16\\ \mathrm{kJ}

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