[2,5] Um parafuso de aço tem
de diâmetro a
. Uma arruela de aluminio tem um diâmetro interno de
a
. Se os dois objetos são mantidos em equilibrio térmico, a que variação de temperatura
o parafuso se ajusta perfeitamente a arruela em Kelvin?
Passo 1
O enunciado pede que se determine a variação de temperatura
(em Kelvin) tal que, estando o parafuso de aço e a arruela de alumínio em equilíbrio térmico (mesma temperatura final), o parafuso se ajuste perfeitamente na arruela (ou seja, o diâmetro do parafuso final seja igual ao diâmetro interno da arruela final).
Dados fornecidos (pego do enunciado):
- Diâmetro do parafuso de aço à temperatura inicial
: . - Diâmetro interno da arruela de alumínio à temperatura inicial
: . - Temperatura inicial comum:
. - Materiais: parafuso = aço; arruela = alumínio.
O que se quer: achar
em Kelvin tal que, na nova temperatura
, valha
Passo 2
Princípio físico que usamos (expansão linear térmica):
- Para pequenas variações de temperatura, um comprimento linear qualquer
de um sólido varia segundo a lei
onde:
-
é o comprimento inicial à temperatura ; -
é o comprimento final à temperatura ; -
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ); -
é a variação de temperatura em Kelvin (nota: uma variação em K é numericamente igual à variação em °C).
Explicação simples e concreta: o diâmetro é um comprimento linear, então ele se comporta exatamente como
na fórmula acima. Assim podemos escrever uma equação de expansão para o diâmetro do parafuso (aço) e para o diâmetro interno da arruela (alumínio).
Observação sobre os coeficientes
: como o enunciado não fornece
, usa-se valores típicos de referência:
- coeficiente do aço:
(valor típico), - coeficiente do alumínio:
(valor típico).
Esses valores são suficientes para o cálculo; se usar outros valores tabelados o método é o mesmo e o resultado numérico muda conforme a tabela.
Passo 3
Escrevendo a expansão para os diâmetros na temperatura final
:
para o parafuso (aço):
para a arruela (alumínio):
Condição de ajuste perfeito:
. Igualando:
Agora isolamos
. Desenvolvendo e rearranjando:
logo
Essa é a fórmula que vamos avaliar numericamente.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro os dados em notação científica conveniente:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador passo a passo:
Subtraindo:
Agora
:
Dividindo (converter
):
Arredondando para três algarismos significativos:
Interpretação:
significa que é preciso aquecer o conjunto em relação a
. A temperatura final seria aproximadamente
(Obs.: variação em Kelvin e em °C têm o mesmo valor numérico; escrevi ambos para clareza.)
Comentário final e incentivo: o valor é relativamente grande porque o ajuste exige que o alumínio — que se dilata bem mais que o aço — aumente sua abertura interna o suficiente para compensar o fato de o parafuso começar maior; por isso é preciso um aquecimento considerável. Se houver tabelas com outros valores de
, basta repetir o mesmo procedimento trocando os coeficientes.