[2,5] Um parafuso de aço tem 2,000 \mathrm{~cm} de diâmetro a 20,00^{\circ} \mathrm{C}. Uma arruela de aluminio tem um diâmetro interno de 1,994 \mathrm{~cm} a 20,00^{\circ} \mathrm{C}. Se os dois objetos são mantidos em equilibrio térmico, a que variação de temperatura \Delta T o parafuso se ajusta perfeitamente a arruela em Kelvin?

Passo 1

O enunciado pede que se determine a variação de temperatura \Delta T (em Kelvin) tal que, estando o parafuso de aço e a arruela de alumínio em equilíbrio térmico (mesma temperatura final), o parafuso se ajuste perfeitamente na arruela (ou seja, o diâmetro do parafuso final seja igual ao diâmetro interno da arruela final).
Dados fornecidos (pego do enunciado):
  • Diâmetro do parafuso de aço à temperatura inicial 20{,}00^\circ\mathrm{C}: d_{s0}=2{,}000\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro interno da arruela de alumínio à temperatura inicial 20{,}00^\circ\mathrm{C}: d_{a0}=1{,}994\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura inicial comum: T_0=20{,}00^\circ\mathrm{C}.
  • Materiais: parafuso = aço; arruela = alumínio.
O que se quer: achar \Delta T em Kelvin tal que, na nova temperatura T=T_0+\Delta T, valha
d_s(T)=d_a(T).

Passo 2

Princípio físico que usamos (expansão linear térmica):
  • Para pequenas variações de temperatura, um comprimento linear qualquer L de um sólido varia segundo a lei
L = L_0\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde:
  • L_0 é o comprimento inicial à temperatura T_0;
  • L é o comprimento final à temperatura T=T_0+\Delta T;
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: \mathrm{K^{-1}});
  • \Delta T é a variação de temperatura em Kelvin (nota: uma variação em K é numericamente igual à variação em °C).
Explicação simples e concreta: o diâmetro é um comprimento linear, então ele se comporta exatamente como L na fórmula acima. Assim podemos escrever uma equação de expansão para o diâmetro do parafuso (aço) e para o diâmetro interno da arruela (alumínio).
Observação sobre os coeficientes \alpha: como o enunciado não fornece \alpha, usa-se valores típicos de referência:
  • coeficiente do aço: \alpha_s = 11{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{K^{-1}} (valor típico),
  • coeficiente do alumínio: \alpha_a = 23{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{K^{-1}} (valor típico).
    Esses valores são suficientes para o cálculo; se usar outros valores tabelados o método é o mesmo e o resultado numérico muda conforme a tabela.

Passo 3

Escrevendo a expansão para os diâmetros na temperatura final T=T_0+\Delta T:
para o parafuso (aço):
d_s = d_{s0}\bigl(1+\alpha_s\Delta T\bigr).
para a arruela (alumínio):
d_a = d_{a0}\bigl(1+\alpha_a\Delta T\bigr).
Condição de ajuste perfeito: d_s=d_a. Igualando:
d_{s0}\bigl(1+\alpha_s\Delta T\bigr)=d_{a0}\bigl(1+\alpha_a\Delta T\bigr).
Agora isolamos \Delta T. Desenvolvendo e rearranjando:
d_{s0}+d_{s0}\alpha_s\Delta T = d_{a0}+d_{a0}\alpha_a\Delta T
d_{s0}\alpha_s\Delta T - d_{a0}\alpha_a\Delta T = d_{a0}-d_{s0}
\Delta T\bigl(d_{s0}\alpha_s - d_{a0}\alpha_a\bigr) = d_{a0}-d_{s0}
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\Delta T = \frac{d_{a0}-d_{s0}}{\,d_{s0}\alpha_s - d_{a0}\alpha_a\,}.
Essa é a fórmula que vamos avaliar numericamente.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro os dados em notação científica conveniente:
d_{s0}=2{,}000\\ \mathrm{cm},\qquad d_{a0}=1{,}994\\ \mathrm{cm},
\alpha_s=11{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{K^{-1}},\qquad \alpha_a=23{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Calcule o numerador:
d_{a0}-d_{s0}=1{,}994-2{,}000=-0{,}006\\ \mathrm{cm}.
Calcule o denominador passo a passo:
d_{s0}\alpha_s = 2{,}000\times 11{,}0\times10^{-6}=22{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{cm\cdot K^{-1}},
d_{a0}\alpha_a = 1{,}994\times 23{,}0\times10^{-6}=45{,}862\times10^{-6}\\ \mathrm{cm\cdot K^{-1}}.
Subtraindo:
d_{s0}\alpha_s - d_{a0}\alpha_a = 22{,}0\times10^{-6}-45{,}862\times10^{-6} = -23{,}862\times10^{-6}\\ \mathrm{cm\cdot K^{-1}}.
Agora \Delta T:
\Delta T = \frac{-0{,}006}{-23{,}862\times10^{-6}} = \frac{0{,}006}{23{,}862\times10^{-6}}.
Dividindo (converter 23{,}862\times10^{-6}=2{,}3862\times10^{-5}):
\Delta T \approx \frac{6{,}0\times10^{-3}}{2{,}3862\times10^{-5}} \approx 2{,}514\times10^{2}\\ \mathrm{K}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\Delta T \approx 2{,}51\times10^{2}\\ \mathrm{K}.
Interpretação: \Delta T>0 significa que é preciso aquecer o conjunto em relação a 20{,}00^\circ\mathrm{C}. A temperatura final seria aproximadamente
T=T_0+\Delta T \approx 20{,}00^\circ\mathrm{C}+251{,}4\\ \mathrm{K}\approx 271{,}4^\circ\mathrm{C}.
(Obs.: variação em Kelvin e em °C têm o mesmo valor numérico; escrevi ambos para clareza.)
Comentário final e incentivo: o valor é relativamente grande porque o ajuste exige que o alumínio — que se dilata bem mais que o aço — aumente sua abertura interna o suficiente para compensar o fato de o parafuso começar maior; por isso é preciso um aquecimento considerável. Se houver tabelas com outros valores de \alpha, basta repetir o mesmo procedimento trocando os coeficientes.

Resposta

\Delta T \approx 2{,}51\times10^{2}\\ \mathrm{K}

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