[2,5] Um parafuso de aço tem 2,000 \mathrm{~cm} de diâmetro a 20,00^{\circ} \mathrm{C}. Uma arruela de aluminio tem um diâmetro interno de 1,994 \mathrm{~cm} a 20,00^{\circ} \mathrm{C}. Se os dois objetos são mantidos em equilibrio térmico, a que variação de temperatura \Delta T o parafuso se ajusta perfeitamente a arruela em Fahrenheit?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (valores medidos a 20,00^\circ\mathrm{C}):
  • Diâmetro do parafuso de aço: d_{\rm s}=2,000\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro interno da arruela de alumínio: d_{\rm a}=1,994\\ \mathrm{cm}.
  • Os dois objetos ficam em equilíbrio térmico (ou seja, terão a mesma temperatura final).
    O que se pede:
  • A variação de temperatura \Delta T (em graus Fahrenheit) necessária para que o parafuso se ajuste perfeitamente à arruela, isto é, para que os diâmetros finais fiquem iguais.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo, bem mastigado).
  • Quando um corpo muda de temperatura, seu comprimento linear (ou qualquer dimensão linear, como diâmetro) muda aproximadamente segundo a lei
L=L_0\,(1+\alpha\,\Delta T),
onde:
  • L_0 é o comprimento inicial (aqui: diâmetro medido a 20,00^\circ\mathrm{C}),
  • L é o comprimento final à nova temperatura,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura em graus Celsius (ou seja, T_{\rm final}-T_{\rm inicial} em ^\circ\mathrm{C}).
  • Explicando em miúdos: \alpha diz quanto a unidade de comprimento cresce por grau Celsius. Por exemplo, \alpha=1\times10^{-5}\\ /\!^\circ\mathrm{C} significa que um comprimento de 1 cresce 10^{-5} por cada 1^\circ\mathrm{C}.
  • Valores típicos (aproximações usuais) dos coeficientes que vamos usar:
    • Aço: \alpha_{\rm s}=11\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Alumínio: \alpha_{\rm a}=23\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
      Esses são valores padrão aproximados; estão na ordem de grandeza esperada para esses metais.
  • Observação sobre a escala de temperatura: a fórmula acima usa \Delta T em ^\circ\mathrm{C}. Depois converteremos o resultado para graus Fahrenheit usando a relação entre os tamanhos de grau:
\Delta T_{^\circ\mathrm{F}}=\frac{9}{5}\,\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}.

Passo 3

Montando a equação de ajuste perfeito.
  • Condição de ajuste: diâmetro final do parafuso = diâmetro final do furo (arruela). Usando a fórmula de dilatação:
d_{\rm s}\bigl(1+\alpha_{\rm s}\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}\bigr)=d_{\rm a}\bigl(1+\alpha_{\rm a}\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}\bigr).
  • Isolando \Delta T_{^\circ\mathrm{C}}:
d_{\rm s}+d_{\rm s}\alpha_{\rm s}\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}=d_{\rm a}+d_{\rm a}\alpha_{\rm a}\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}
(d_{\rm s}\alpha_{\rm s}-d_{\rm a}\alpha_{\rm a})\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}=d_{\rm a}-d_{\rm s}
\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}=\dfrac{d_{\rm a}-d_{\rm s}}{d_{\rm s}\alpha_{\rm s}-d_{\rm a}\alpha_{\rm a}}.
  • Substituindo os números (todos escritos em notação consistente):
    • d_{\rm s}=2,000\\ \mathrm{cm}.
    • d_{\rm a}=1,994\\ \mathrm{cm}.
    • \alpha_{\rm s}=11\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • \alpha_{\rm a}=23\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
      Cálculo detalhado dos termos:
d_{\rm a}-d_{\rm s}=1,994-2,000=-0,006\\ \mathrm{cm}.
d_{\rm s}\alpha_{\rm s}=2,000\cdot 11\times10^{-6}=22\times10^{-6}=2,2\times10^{-5}\\ /\!^\circ\mathrm{C},
d_{\rm a}\alpha_{\rm a}=1,994\cdot 23\times10^{-6}=45,862\times10^{-6}=4,5862\times10^{-5}\\ /\!^\circ\mathrm{C}.
d_{\rm s}\alpha_{\rm s}-d_{\rm a}\alpha_{\rm a}=2,2\times10^{-5}-4,5862\times10^{-5}=-2,3862\times10^{-5}\\ /\!^\circ\mathrm{C}.
Agora a variação em Celsius:
\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}=\dfrac{-0,006}{-2,3862\times10^{-5}}=\dfrac{0,006}{2,3862\times10^{-5}}\approx 251,46\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação rápida: \Delta T_{^\circ\mathrm{C}}>0 implica aquecer (aumentar a temperatura) até que o furo de alumínio, que dilata mais, alcance o mesmo diâmetro do parafuso de aço.

Passo 4

Converter \Delta T para graus Fahrenheit.
  • A relação entre as variações de temperatura nas duas escalas é
\Delta T_{^\circ\mathrm{F}}=\frac{9}{5}\,\Delta T_{^\circ\mathrm{C}}.
  • Aplicando o valor encontrado:
\Delta T_{^\circ\mathrm{F}}=\frac{9}{5}\cdot 251,46\approx 1,8\cdot 251,46\approx 452,63\\ ^\circ\mathrm{F}.
  • Arredondando de forma prática: aproximadamente 453\\ ^\circ\mathrm{F}.

Resposta

\Delta T\approx 452,6^\circ\mathrm{F} (aproximadamente 453^\circ\mathrm{F})

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