[2,5] Um parafuso de aço tem
de diâmetro a
. Uma arruela de aluminio tem um diâmetro interno de
a
. Se os dois objetos são mantidos em equilibrio térmico, a que variação de temperatura
o parafuso se ajusta perfeitamente a arruela em Fahrenheit?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (valores medidos a
):
- Diâmetro do parafuso de aço:
. - Diâmetro interno da arruela de alumínio:
. - Os dois objetos ficam em equilíbrio térmico (ou seja, terão a mesma temperatura final).
O que se pede: - A variação de temperatura
(em graus Fahrenheit) necessária para que o parafuso se ajuste perfeitamente à arruela, isto é, para que os diâmetros finais fiquem iguais.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo, bem mastigado).
- Quando um corpo muda de temperatura, seu comprimento linear (ou qualquer dimensão linear, como diâmetro) muda aproximadamente segundo a lei
onde:
-
é o comprimento inicial (aqui: diâmetro medido a ), -
é o comprimento final à nova temperatura, -
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ), -
é a variação de temperatura em graus Celsius (ou seja, em ). - Explicando em miúdos:
diz quanto a unidade de comprimento cresce por grau Celsius. Por exemplo, significa que um comprimento de cresce por cada . - Valores típicos (aproximações usuais) dos coeficientes que vamos usar:
- Aço:
. - Alumínio:
.
Esses são valores padrão aproximados; estão na ordem de grandeza esperada para esses metais.
- Aço:
- Observação sobre a escala de temperatura: a fórmula acima usa
em . Depois converteremos o resultado para graus Fahrenheit usando a relação entre os tamanhos de grau:
Passo 3
Montando a equação de ajuste perfeito.
- Condição de ajuste: diâmetro final do parafuso = diâmetro final do furo (arruela). Usando a fórmula de dilatação:
- Isolando
:
- Substituindo os números (todos escritos em notação consistente):
-
. -
. -
. -
.
Cálculo detalhado dos termos:
-
Agora a variação em Celsius:
- Interpretação rápida:
implica aquecer (aumentar a temperatura) até que o furo de alumínio, que dilata mais, alcance o mesmo diâmetro do parafuso de aço.
Passo 4
Converter
para graus Fahrenheit.
- A relação entre as variações de temperatura nas duas escalas é
- Aplicando o valor encontrado:
- Arredondando de forma prática: aproximadamente
.