[2,5] Uma pessoa fez um investimento a partir de um capital de \ 10.000,00 , tendo ao final da operação, acumulado o total deçã$15.000 . Considerando uma taxa de juros simples de24 %$ a.a, determine o prazo dessa operação em meses.

Passo 1

O enunciado dá um investimento com os seguintes dados:
  • Capital inicial (principal): P=\$10.000{,}00.
  • Montante (valor acumulado) ao final: A=\$15.000{,}00.
  • Taxa de juros simples anual: r=24\%\\ \text{a.a.}, isto é, r=0,24 por ano.
O que o problema pede:
  • Determinar o prazo da operação em meses (ou seja, encontrar o tempo decorrido até o montante A).

Passo 2

Conceito e fórmula de juros simples (aula rápida e prática).
  • Juros simples significa que os juros são calculados sempre sobre o capital inicial P, não sobre juros acumulados.
  • Se t é o tempo em anos, a fórmula do montante em juros simples é:
A = P\bigl(1 + r\,t\bigr).
Aqui:
  • A é o montante final (capital + juros),
  • P é o capital inicial,
  • r é a taxa por unidade de tempo (aqui por ano),
  • t é o tempo na mesma unidade de r (aqui em anos).
Exemplo rápido para fixar: se P=\$100, r=0{,}10 (10% a.a.) e t=1 ano, então
A=100\bigl(1+0{,}10\cdot1\bigr)=100\cdot1{,}10=\$110.

Passo 3

Aplicando os dados do problema na fórmula para encontrar t.
Partindo de
A = P\bigl(1 + r\,t\bigr),
isola-se t:
1 + r\,t = \frac{A}{P}\quad\Rightarrow\quad r\,t = \frac{A}{P}-1\quad\Rightarrow\quad t = \frac{\dfrac{A}{P}-1}{r}.
Agora substitui os valores numéricos (usar P=10000 e A=15000 para facilitar contas):
\frac{A}{P}=\frac{15000}{10000}=1{,}5.
Logo
t=\frac{1{,}5-1}{0{,}24}=\frac{0{,}5}{0{,}24}.

Passo 4

Fazendo a divisão de forma exata e convertendo para meses.
Calculemos \dfrac{0{,}5}{0{,}24}:
\frac{0{,}5}{0{,}24}=\frac{50}{24}=\frac{25}{12}=2{,}083333\ldots\\ \text{anos}.
Para converter anos em meses multiplicamos por 12:
t_{\text{meses}}=2{,}083333\ldots\times12=25\\ \text{meses}.

Resposta

25 meses

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