Um investidor está analisando três cenários distintos para um investimento que irá realizar, tendo como capital, \ 8.500$ para investir. Calcule o montante de cada um dos três cenários que serão analisados, a partir das seguintes taxas de juros compostos e prazos:
15 \% a.a. (ao ano), 30 meses.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Capital inicial (valor presente): P=\$8.500.
  • Taxa de juros composta dada: 15\% ao ano, ou seja i=0,15 por ano.
  • Prazo: 30 meses. Converter para anos porque a taxa é anual: t=\frac{30}{12}=2,5\\ \text{anos}.
Pergunta: calcular o montante (valor futuro) após 2,5 anos com juros compostos à taxa anual de 15\%.

Passo 2

Fórmula e explicação do conceito (aula rápida):
  • Em juros compostos, o montante M é dado por M = P(1+i)^{n},onde:
    • M é o montante (valor final),
    • P é o capital inicial (valor presente),
    • i é a taxa por período (aqui, taxa anual),
    • n é o número de períodos (aqui, anos).
  • Como a taxa é efetiva anual e o tempo está em anos, podemos usar n=t. Se t for fracionário (como 2,5), a potência fracionária significa justo isso: crescimento por 2,5 períodos — é permitido e interpretado como (1+i)^{2,5}=(1+i)^{5/2}=\sqrt{(1+i)^{5}}.
  • Dica prática para prova sem calculadora: calcule potências inteiras por multiplicações sucessivas e trate a parte fracionária (por ex. 1/2) com raiz quadrada quando possível.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado:
M = P(1+i)^{t} = 8500\,(1+0,15)^{2,5}=8500\,(1,15)^{2,5}.
Calcule passo a passo (1,15)^{2,5}=(1,15)^{5/2}. Primeiro as potências inteiras:
(1,15)^{2}=1,15\times1,15=1,3225,
(1,15)^{3}=1,3225\times1,15=1,520875,
(1,15)^{4}=1,520875\times1,15=1,74900625,
(1,15)^{5}=1,74900625\times1,15=2,0113571875.
Agora tome a raiz quadrada para obter a potência 5/2:
(1,15)^{2,5}=\sqrt{(1,15)^{5}}=\sqrt{2,0113571875}\approx1,418503\ldots
(uma forma alternativa útil é usar (1,15)^{2,5}=(1,15)^{2}\sqrt{1,15}=1,3225\sqrt{1,15}, e \sqrt{1,15}\approx1,07238, que dá o mesmo resultado aproximado).

Passo 4

Multiplicando pelo capital para obter o montante:
M \approx 8500\times1,418503\ldots \approx 12.057,2775.
Arredondando centavos (duas casas decimais), o montante fica aproximadamente \$12.057,28.

Passo 5

Observações práticas para a prova (resumão amigo):
  • Sempre alinhe unidades: taxa anual com tempo em anos; se for trabalhar mês a mês converta taxa para mensal ou tempo para anos — fique com consistência.
  • Para potências fracionárias, transforme em raiz (por ex. a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}) e calcule potências inteiras por multiplicação repetida se não tiver calculadora.
  • Para conferir, calcule (1,15)^{2} e \sqrt{1,15} separadamente e faça o produto — é uma checagem útil.

Resposta

\$12.057,28

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