'14.72. Determine o deslocamento horizontal da articulação
. Cada elemento de aço A-36 tem área de seção transversal de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o deslocamento horizontal da articulação
. As informações textuais fornecidas no enunciado são:
- Cada elemento de aço A-36 tem área de seção transversal
.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são essenciais para calcular numericamente o deslocamento):
- Geometria completa da estrutura (posição das articulações, comprimentos dos elementos, ângulos).
- Tipo de estrutura (treliça articulada, pórtico rígido, estrutura planar com nós e barras, etc.).
- Condições de contorno e vínculos (apoios, ligações engastadas ou articuladas).
- Carregamentos (forças externas: magnitudes, direções e posições) aplicados à estrutura.
- Se houver, outros dados materiais além da área (por exemplo, confirmar módulo de elasticidade
assumido para o aço A-36).
Observação sobre a área: o valor escrito
pode ser interpretado de duas formas dependendo da notação (decimal versus separador de milhares). Suspeito que a intenção seja a área igual a
(um valor plausível para seções de barras de aço). Contudo, não tenho certeza sobre essa interpretação; portanto há ambiguidade.
Como a figura/descrição geométrica e os carregamentos NÃO foram fornecidos, não é possível obter um valor numérico final para o deslocamento. Nos passos seguintes eu vou explicar, passo a passo e de forma didática, o método que se usa para determinar esse deslocamento quando todos os dados estiverem disponíveis — assim você sabe exatamente o que fazer durante a prova.
Passo 2
Escolha do método (o caminho que eu recomendo)
- Para estruturas formadas por barras desse tipo (treliças ou estruturas pin-jointed onde os membros só carregam axialmente) o método mais direto e clássico para calcular deslocamentos em um nó é o princípio dos trabalhos virtuais (também chamado método da força virtual ou do deslocamento unitário).
- Por que usar esse método? Porque ele transforma o problema de deslocamento em um somatório sobre membros conhecidos: não é preciso montar diretamente a rigidez global da estrutura nem inverter matrizes grandes se a treliça for simples; bastam as forças axiais reais e as forças axiais sob uma carregamento virtual unitário aplicado na direção e ponto do deslocamento que se quer obter.
- Portanto aqui vou ensinar o método das forças virtuais para treliças (método básico e bastante apresentado em disciplinas de Mecânica dos Materiais / Estruturas).
Passo 3
Ideia central do método das forças virtuais (explicação intuitiva)
- Queremos o deslocamento horizontal em
. A técnica: aplicar um carregamento virtual (uma carga unitária) em na direção do deslocamento desejado (neste caso, horizontal para a direita, por exemplo). Chamaremos essa carga virtual de carga unitaria (unidade de força). - Calcular as forças axiais em cada barra produzidas pelo carregamento real (as forças internas reais) e também as forças axiais produzidas pelo carregamento virtual unitário (chamadas forças virtuais).
- O princípio dos trabalhos virtuais linearizados dá a fórmula (para treliças com comportamento linear-elástico):
onde:
-
é o deslocamento procurado no ponto/direção onde aplicámos a carga virtual (positivo no sentido da carga virtual). -
é o número de membros da treliça. - Para cada membro
: -
é a força axial no membro sob as cargas reais (unidades de força, por ex. N). Convenção: tensão de tração positiva, compressão negativa (ou escolha consistente). -
é a força axial no membro sob a carga virtual unitária aplicada em na direção desejada (unidades de força; como a carga virtual é unitária, terá unidades de força também, numericamente iguais à força resultante daquela unidade). -
é o comprimento do membro (por ex. em mm). -
é a área da seção transversal do membro (em ); no seu enunciado todos os têm o mesmo valor dado. -
é o módulo de elasticidade do material (para aço A-36 normalmente ; eu explico como usar esse valor adiante).
-
- Intuição simples: cada membro contribui para o deslocamento proporcional ao produto das forças real e virtual naquele membro e ao comprimento, dividido pela rigidez axial
. A soma das contribuições dá o deslocamento total.
Passo 4
Derivação curta e didática da fórmula (passo a passo)
- Deformação axial de um membro
:
Explicação: a lei de Hooke para um barra axial diz que a deformação normal
, com
. Logo
.
2. Se aplicarmos uma carga virtual que produz forças nos membros, o trabalho virtual interno correspondente é
2. Se aplicarmos uma carga virtual que produz forças
- O trabalho virtual externo, devido à carga unitária aplicada no ponto
, é simplesmente o deslocamento procurado vezes a carga unitária , ou seja . - Igualando trabalho interno e externo (princípio dos trabalhos virtuais):
Isso é exatamente a fórmula usada.
Passo 5
Como calcular
(forças axiais reais) — receita prática
- Calcule as reações de apoio (equilíbrio global): some forças horizontais e verticais e momentos se houver. Use as equações de equilíbrio estático do corpo inteiro.
- Uma vez conhecidas as reações, calcule as forças nos membros:
- Método das juntas: isole cada nó, use as equações de equilíbrio em
e (duas equações) para encontrar as forças de até duas incógnitas por junta. Trabalhe nó a nó até obter todas as . - Método das seções: faça cortes estratégicos na treliça e use equilíbrio de corte (forças e momentos) para resolver para várias
de uma vez.
- Ao calcular componentes, decompõe forças dos membros em
e usando os ângulos das barras; para um membro com direção que forma um ângulo com o eixo :
- Mantenha sinal consistente (tracção positiva). É importante obter os valores numéricos corretos e com o sinal certo porque o produto
na fórmula pode ficar negativo (isso é normal e a soma final dará o sinal do deslocamento).
Passo 6
Como calcular
(forças axiais sob a carga virtual unitária)
- Substitua no modelo original todas as cargas reais por zero e aplique apenas uma força unitária
(por exemplo ) no nó na direção do deslocamento que deseja (neste caso horizontal). - Repetir o mesmo procedimento do Passo 5 para encontrar as forças internas
resultantes dessa unidade: primeiro reações de apoio sob a carga unitária (serão valores proporcionais a ), depois forças nos membros por método das juntas ou seções. - Importante: as forças
terão ordem de grandeza pequena (na escala da carga unitária). Elas são usadas diretamente na fórmula sem qualquer normalização adicional porque a carga virtual foi de magnitude .
Passo 7
Cálculo dos comprimentos
e dos ângulos
- Para cada membro, determine coordenadas dos seus nós finais (do desenho/figura). Se o nó
tem coordenadas e o nó tem , então:
- Ângulo com o eixo
:
- Esses valores entram tanto no cálculo de
e (para decompor forças) quanto diretamente no comprimento na soma da fórmula.
Passo 8
Unidades e verificação dimensional (muito importante para a prova)
- Use unidades consistentes. Uma escolha prática com as quantidades dadas:
- Força em newtons (
). - Comprimento em milímetros (
). - Área em
. - Módulo de elasticidade em
.
- Força em newtons (
- Para o aço A-36, adota-se normalmente:
- Para a área, se interpretarmos
como , então
- Verificação dimensional da soma
: -
e em , em => produto tem unidades . - Dividindo por
(unidades ) resulta em . Portanto vem em , consistente.
-
Passo 9
Resumo prático do procedimento passo a passo para aplicar na prova (lista que você pode seguir sem erro)
- Ler a figura e anotar coordenadas dos nós, comprimentos dos membros e ângulos.
- Identificar apoios e calcular reações com equilíbrio global.
- Calcular forças axiais reais
em todos os membros (método das juntas ou seções). - Aplicar carga virtual unitária
em horizontal e calcular forças axiais virtuais . - Calcular todos os comprimentos
. - Substituir na fórmula
usando
(dado) e
(para aço A-36 tomar
).
7. Somar as contribuições e obter (em
). O sinal de
indica sentido (positivo = mesmo sentido da carga virtual aplicada).
7. Somar as contribuições e obter
Passo 10
Exemplo numérico ilustrativo (modelo de como fazer a conta final, sem dados reais)
- Suponha que, após calcular
e e , você obteve a soma
- Com
e , temos . - Então
- Essa pequena ilustração mostra como transformar a soma
numa resposta numérica final.
Passo 11
Dicas de prova e armadilhas comuns
- Seja consistente com sinais: escolha tração positiva tanto para
quanto para . - Ao aplicar a carga virtual, sempre use exatamente uma unidade (por ex.
). Resultado será proporcional a essa unidade; se preferir usar tudo ainda funciona, contanto que seja consistente nas unidades (nesse caso viria em ou dependendo das unidades). - Não esqueça de incluir todas as barras na soma, mesmo as que parecem “sem contribuição” — às vezes há membros com
ou nulos e aí a contribuição será zero. - Se a estrutura NÃO for uma treliça articulada (por exemplo, pórtico com membros flexíveis que suportam momento), o método acima precisa ser adaptado (então há energia de flexão além da axial). Se houver momentos resistentes, o procedimento fica mais complexo (é preciso incluir termos de
etc.). Confirme pelo desenho se os nós são articulações (ganchos/pinos) — normalmente nos problemas que dão área apenas, trata-se de treliça.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o deslocamento horizontal de
porque a figura com a geometria da estrutura, os comprimentos/ângulos dos membros, os vínculos e os carregamentos não foram fornecidos.