'14.72. Determine o deslocamento horizontal da articulação B. Cada elemento de aço A-36 tem área de seção transversal de 1.250 \mathrm{~mm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o deslocamento horizontal da articulação B. As informações textuais fornecidas no enunciado são:
  • Cada elemento de aço A-36 tem área de seção transversal 1{,}250\\ \mathrm{mm}^2.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são essenciais para calcular numericamente o deslocamento):
  • Geometria completa da estrutura (posição das articulações, comprimentos dos elementos, ângulos).
  • Tipo de estrutura (treliça articulada, pórtico rígido, estrutura planar com nós e barras, etc.).
  • Condições de contorno e vínculos (apoios, ligações engastadas ou articuladas).
  • Carregamentos (forças externas: magnitudes, direções e posições) aplicados à estrutura.
  • Se houver, outros dados materiais além da área (por exemplo, confirmar módulo de elasticidade \,E\, assumido para o aço A-36).
Observação sobre a área: o valor escrito 1{,}250\\ \mathrm{mm}^2 pode ser interpretado de duas formas dependendo da notação (decimal versus separador de milhares). Suspeito que a intenção seja a área igual a 1250\\ \mathrm{mm}^2 (um valor plausível para seções de barras de aço). Contudo, não tenho certeza sobre essa interpretação; portanto há ambiguidade.
Como a figura/descrição geométrica e os carregamentos NÃO foram fornecidos, não é possível obter um valor numérico final para o deslocamento. Nos passos seguintes eu vou explicar, passo a passo e de forma didática, o método que se usa para determinar esse deslocamento quando todos os dados estiverem disponíveis — assim você sabe exatamente o que fazer durante a prova.

Passo 2

Escolha do método (o caminho que eu recomendo)
  • Para estruturas formadas por barras desse tipo (treliças ou estruturas pin-jointed onde os membros só carregam axialmente) o método mais direto e clássico para calcular deslocamentos em um nó é o princípio dos trabalhos virtuais (também chamado método da força virtual ou do deslocamento unitário).
  • Por que usar esse método? Porque ele transforma o problema de deslocamento em um somatório sobre membros conhecidos: não é preciso montar diretamente a rigidez global da estrutura nem inverter matrizes grandes se a treliça for simples; bastam as forças axiais reais e as forças axiais sob uma carregamento virtual unitário aplicado na direção e ponto do deslocamento que se quer obter.
  • Portanto aqui vou ensinar o método das forças virtuais para treliças (método básico e bastante apresentado em disciplinas de Mecânica dos Materiais / Estruturas).

Passo 3

Ideia central do método das forças virtuais (explicação intuitiva)
  • Queremos o deslocamento horizontal em B. A técnica: aplicar um carregamento virtual (uma carga unitária) em B na direção do deslocamento desejado (neste caso, horizontal para a direita, por exemplo). Chamaremos essa carga virtual de carga unitaria 1 (unidade de força).
  • Calcular as forças axiais em cada barra produzidas pelo carregamento real (as forças internas reais) e também as forças axiais produzidas pelo carregamento virtual unitário (chamadas forças virtuais).
  • O princípio dos trabalhos virtuais linearizados dá a fórmula (para treliças com comportamento linear-elástico):
\delta = \sum_{i=1}^{m}\frac{N_i\,n_i\,L_i}{A_i\,E}
onde:
  • \delta é o deslocamento procurado no ponto/direção onde aplicámos a carga virtual (positivo no sentido da carga virtual).
  • m é o número de membros da treliça.
  • Para cada membro i:
    • N_i é a força axial no membro i sob as cargas reais (unidades de força, por ex. N). Convenção: tensão de tração positiva, compressão negativa (ou escolha consistente).
    • n_i é a força axial no membro i sob a carga virtual unitária aplicada em B na direção desejada (unidades de força; como a carga virtual é unitária, n_i terá unidades de força também, numericamente iguais à força resultante daquela unidade).
    • L_i é o comprimento do membro i (por ex. em mm).
    • A_i é a área da seção transversal do membro i (em \mathrm{mm}^2); no seu enunciado todos os A_i têm o mesmo valor dado.
    • E é o módulo de elasticidade do material (para aço A-36 normalmente \,E\approx 200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2; eu explico como usar esse valor adiante).
  • Intuição simples: cada membro contribui para o deslocamento proporcional ao produto das forças real e virtual naquele membro e ao comprimento, dividido pela rigidez axial (A E / L). A soma das contribuições dá o deslocamento total.

Passo 4

Derivação curta e didática da fórmula (passo a passo)
  1. Deformação axial de um membro i:
\Delta L_i = \frac{N_i\,L_i}{A_i\,E}.
Explicação: a lei de Hooke para um barra axial diz que a deformação normal \varepsilon_i = \dfrac{\Delta L_i}{L_i} = \dfrac{\sigma_i}{E}, com \sigma_i = \dfrac{N_i}{A_i}. Logo \Delta L_i = \dfrac{N_i L_i}{A_i E}.
2. Se aplicarmos uma carga virtual que produz forças n_i nos membros, o trabalho virtual interno correspondente é
\delta W_\text{int} = \sum_{i=1}^{m} n_i \,\Delta L_i = \sum_{i=1}^{m} n_i \frac{N_i L_i}{A_i E}.
  1. O trabalho virtual externo, devido à carga unitária aplicada no ponto B, é simplesmente o deslocamento procurado \delta vezes a carga unitária 1, ou seja \delta W_\text{ext} = 1\cdot\delta.
  2. Igualando trabalho interno e externo (princípio dos trabalhos virtuais):
\delta = \sum_{i=1}^{m}\frac{N_i\,n_i\,L_i}{A_i\,E}.
Isso é exatamente a fórmula usada.

Passo 5

Como calcular N_i (forças axiais reais) — receita prática
  1. Calcule as reações de apoio (equilíbrio global): some forças horizontais e verticais e momentos se houver. Use as equações de equilíbrio estático do corpo inteiro.
  2. Uma vez conhecidas as reações, calcule as forças nos membros:
  • Método das juntas: isole cada nó, use as equações de equilíbrio em x e y (duas equações) para encontrar as forças de até duas incógnitas por junta. Trabalhe nó a nó até obter todas as N_i.
  • Método das seções: faça cortes estratégicos na treliça e use equilíbrio de corte (forças e momentos) para resolver para várias N_i de uma vez.
  1. Ao calcular componentes, decompõe forças dos membros em x e y usando os ângulos das barras; para um membro com direção que forma um ângulo \theta com o eixo x:
N_{i,x}=N_i\cos\theta,\qquad N_{i,y}=N_i\sin\theta.
  1. Mantenha sinal consistente (tracção positiva). É importante obter os valores numéricos corretos e com o sinal certo porque o produto N_i n_i na fórmula pode ficar negativo (isso é normal e a soma final dará o sinal do deslocamento).

Passo 6

Como calcular n_i (forças axiais sob a carga virtual unitária)
  1. Substitua no modelo original todas as cargas reais por zero e aplique apenas uma força unitária 1 (por exemplo 1{,}0\\ \mathrm{N}) no nó B na direção do deslocamento que deseja (neste caso horizontal).
  2. Repetir o mesmo procedimento do Passo 5 para encontrar as forças internas n_i resultantes dessa unidade: primeiro reações de apoio sob a carga unitária (serão valores proporcionais a 1), depois forças nos membros por método das juntas ou seções.
  3. Importante: as forças n_i terão ordem de grandeza pequena (na escala da carga unitária). Elas são usadas diretamente na fórmula sem qualquer normalização adicional porque a carga virtual foi de magnitude 1.

Passo 7

Cálculo dos comprimentos L_i e dos ângulos \theta_i
  • Para cada membro, determine coordenadas dos seus nós finais (do desenho/figura). Se o nó j tem coordenadas (x_j,y_j) e o nó k tem (x_k,y_k), então:
L_i = \sqrt{(x_k-x_j)^2+(y_k-y_j)^2}.
  • Ângulo com o eixo x:
\cos\theta_i = \frac{x_k-x_j}{L_i},\qquad \sin\theta_i = \frac{y_k-y_j}{L_i}.
  • Esses valores entram tanto no cálculo de N_i e n_i (para decompor forças) quanto diretamente no comprimento L_i na soma da fórmula.

Passo 8

Unidades e verificação dimensional (muito importante para a prova)
  • Use unidades consistentes. Uma escolha prática com as quantidades dadas:
    • Força em newtons ( \mathrm{N}).
    • Comprimento em milímetros ( \mathrm{mm}).
    • Área em \mathrm{mm}^2.
    • Módulo de elasticidade em \mathrm{N/mm}^2.
  • Para o aço A-36, adota-se normalmente:
E \approx 200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.
  • Para a área, se interpretarmos 1{,}250\\ \mathrm{mm}^2 como 1250\\ \mathrm{mm}^2, então
A E = 1250\cdot 200{,}000 = 250{,}000{,}000\\ \mathrm{N}.
  • Verificação dimensional da soma \sum N_i n_i L_i:
    • N_i e n_i em \mathrm{N}, L_i em \mathrm{mm} => produto tem unidades \mathrm{N}^2\cdot\mathrm{mm}.
    • Dividindo por A_i E (unidades \mathrm{mm}^2\cdot\mathrm{N/mm}^2=\mathrm{N}) resulta em \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}/\mathrm{N}=\mathrm{mm}. Portanto \delta vem em \mathrm{mm}, consistente.

Passo 9

Resumo prático do procedimento passo a passo para aplicar na prova (lista que você pode seguir sem erro)
  1. Ler a figura e anotar coordenadas dos nós, comprimentos dos membros e ângulos.
  2. Identificar apoios e calcular reações com equilíbrio global.
  3. Calcular forças axiais reais N_i em todos os membros (método das juntas ou seções).
  4. Aplicar carga virtual unitária 1 em B horizontal e calcular forças axiais virtuais n_i.
  5. Calcular todos os comprimentos L_i.
  6. Substituir na fórmula
\delta = \sum_{i=1}^{m}\frac{N_i\,n_i\,L_i}{A_i\,E}
usando A_i (dado) e E (para aço A-36 tomar 200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2).
7. Somar as contribuições e obter \delta (em \mathrm{mm}). O sinal de \delta indica sentido (positivo = mesmo sentido da carga virtual aplicada).

Passo 10

Exemplo numérico ilustrativo (modelo de como fazer a conta final, sem dados reais)
  • Suponha que, após calcular N_i e n_i e L_i, você obteve a soma
S=\sum_{i=1}^{m} N_i\,n_i\,L_i = 1{,}00\times 10^{6}\\ \mathrm{N}^2\cdot\mathrm{mm}.
  • Com A=1250\\ \mathrm{mm}^2 e E=200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2, temos A E = 2{,}50\times 10^{8}\\ \mathrm{N}.
  • Então
\delta = \frac{S}{A E} = \frac{1{,}00\times 10^{6}}{2{,}50\times 10^{8}} = 4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{mm} = 0{,}004\\ \mathrm{mm}.
  • Essa pequena ilustração mostra como transformar a soma S numa resposta numérica final.

Passo 11

Dicas de prova e armadilhas comuns
  • Seja consistente com sinais: escolha tração positiva tanto para N_i quanto para n_i.
  • Ao aplicar a carga virtual, sempre use exatamente uma unidade (por ex. 1{,}0\\ \mathrm{N}). Resultado será proporcional a essa unidade; se preferir usar 1{,}0\\ \mathrm{kN} tudo ainda funciona, contanto que seja consistente nas unidades (nesse caso \delta viria em \mathrm{mm} ou \mathrm{m} dependendo das unidades).
  • Não esqueça de incluir todas as barras na soma, mesmo as que parecem “sem contribuição” — às vezes há membros com N_i ou n_i nulos e aí a contribuição será zero.
  • Se a estrutura NÃO for uma treliça articulada (por exemplo, pórtico com membros flexíveis que suportam momento), o método acima precisa ser adaptado (então há energia de flexão além da axial). Se houver momentos resistentes, o procedimento fica mais complexo (é preciso incluir termos de M^2/(E I) etc.). Confirme pelo desenho se os nós são articulações (ganchos/pinos) — normalmente nos problemas que dão área apenas, trata-se de treliça.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o deslocamento horizontal de B porque a figura com a geometria da estrutura, os comprimentos/ângulos dos membros, os vínculos e os carregamentos não foram fornecidos.

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