[2,5] Um tanque contendo nitrogênio (calor específico a pressão constante c_{p}= 1041,6 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK}); calor específico a pressão constante c_{v}=744,8 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK}) ) está sendo esvaziado, para o ar atmosférico, com um fluxo mássico de 0,012 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} (considerar desprezível a energia cinética e potencial transportada). Calcular o fluxo de calor que deve ser fornecido ao nitrogênio que permanece no tanque para que sua temperatura se mantenha constante a 65^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o fluxo de calor que deve ser fornecido ao nitrogênio que permanece no tanque de modo que sua temperatura se mantenha constante a 65^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (vou listá-los todos claramente):
c_p = 1041{,}6\\ \mathrm{J/(kg\,K)}
c_v = 744{,}8\\ \mathrm{J/(kg\,K)}
\dot m = 0{,}012\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{fluxo mássico que sai do tanque})á
Aproximações/condições dadas:
  • Desprezar energia cinética e potencial transportada.
  • Temperatura do nitrogênio no tanque deve ficar constante em 65^\circ\mathrm{C}.
  • Não há indicação de trabalho de eixo; considerar que não há trabalho útil além do escoamento.
Pergunta final: Qual o fluxo de calor \dot Q (em W) que devo fornecer ao nitrogênio que fica no tanque para manter a temperatura constante?

Passo 2

Vou escrever o balanço de energia na forma de taxa para um volume de controle (o tanque) com um único escoamento de saída. A forma geral, explicando cada termo, é:
\dot Q + \sum \dot m_{in}\left(h_{in}+\frac{V_{in}^2}{2}+g z_{in}\right) = \dot W_{s} + \frac{dE_{cv}}{dt} + \sum \dot m_{out}\left(h_{out}+\frac{V_{out}^2}{2}+g z_{out}\right).
Explicando os símbolos:
  • \dot Q é a taxa de calor fornecida ao volume de controle (o que queremos).
  • \dot W_{s} é trabalho de eixo (aqui assumimos 0).
  • \frac{dE_{cv}}{dt} é a taxa de variação da energia interna total no tanque.
  • \dot m_{in},\dot m_{out} são fluxos mássicos entrando/saindo; h é a entalpia específica, V^2/2 termo de energia cinética por massa e g z termo de energia potencial por massa.
No nosso caso há somente saída de massa, energia cinética/ potencial desprezíveis e sem trabalho de eixo. Então a equação simplifica para:
\dot Q = \frac{dE_{cv}}{dt} + \dot m\, h,
onde \dot m é o fluxo mássico que sai (positivo) e h é a entalpia específica da massa que sai.

Passo 3

Agora vamos interpretar \frac{dE_{cv}}{dt}. A energia interna total no tanque é E_{cv}=m\,u, onde m é a massa no tanque e u é a energia interna específica. Diferenciando:
\frac{dE_{cv}}{dt} = \frac{d(m u)}{dt} = u\frac{dm}{dt} + m\frac{du}{dt}.
Como a temperatura do nitrogênio é mantida constante em 65^\circ\mathrm{C}, a energia interna específica u é constante, portanto \frac{du}{dt}=0. Logo
\frac{dE_{cv}}{dt} = u\,\frac{dm}{dt}.
A massa no tanque diminui à taxa \dot m, então \frac{dm}{dt} = -\dot m. Substituindo:
\frac{dE_{cv}}{dt} = -u\,\dot m.

Passo 4

Substituindo isso na equação do passo 2:
\dot Q = -u\dot m + \dot m\,h = \dot m\,(h-u).
Agora uso a relação termodinâmica entre entalpia e energia interna:
h = u + p v \quad\Rightarrow\quad h-u = p v.
Para um gás ideal por unidade de massa temos p v = R T. Portanto:
\dot Q = \dot m\,R\,T.
Também sabemos que para um gás ideal R = c_p - c_v. Vou calcular R com os dados fornecidos.

Passo 5

Calcular R:
R = c_p - c_v = 1041{,}6 - 744{,}8 = 296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Converter a temperatura para Kelvin:
T = 65^\circ\mathrm{C} = 65 + 273{,}15 = 338{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora calcular \dot Q:
\dot Q = \dot m\,R\,T = 0{,}012\cdot 296{,}8 \cdot 338{,}15\\ \mathrm{W}.
Faço as multiplicações em etapas:
R\,T = 296{,}8 \cdot 338{,}15 = 100362{,}92\\ \mathrm{J/kg},
\dot Q = 0{,}012 \cdot 100362{,}92 = 1204{,}35\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática para duas casas significativas relevantes:
\dot Q \approx 1{,}20\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Interpretação curta: para manter a temperatura constante, preciso fornecer calor que compense a energia associada ao trabalho de fluxo (entulho) levado pela massa que sai; para gás ideal essa energia por kg é R T, por isso \dot Q=\dot m R T. Boa notícia: é um valor de ordem de 1{,}2\\ \mathrm{kW}, então já dá para dimensionar aquecedor etc. Você tá indo bem — respira, dá pra decorar esse raciocínio: balanço de energia no volume de controle + entalpia = chave.

Resposta

\dot Q = 1{,}20\\ \mathrm{kW}

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