O nível de água de um reservatório municipal é normalmente reduzido na época de estiagem. No primeiro dia desse período, os técnicos do Departamento de Água verificaram que o nível do reservatório indicava um volume de
litros. O consumo de água dessa cidade é de
litros/dia e, nessas condições, os técnicos previram que o nível mínimo que o reservatório pode ter, seria alcançado em 60 dias. Foi prevista então a alimentação do reservatório a partir do
dia de estiagem, a uma vazão de 10.
litros/dia (onde
é contado em dias). Por quanto tempo a mais o Departamento de Água conseguiria abastecer a cidade nesse novo cenário?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede quanto tempo a mais (além do prazo previsto de 60 dias) o abastecimento vai durar quando entra em funcionamento a alimentação externa no dia 10:
- Volume inicial do reservatório:
litros. - Consumo constante da cidade:
litros/dia. - Sem alimentação, o nível mínimo seria alcançado em
dias. - A partir do
dia começa a alimentação com vazão onde está em dias contados desde o primeiro dia da estiagem. - Pergunta: por quanto tempo a mais o Departamento de Água conseguiria abastecer a cidade nesse novo cenário? (ou seja: quanto além dos 60 dias)
Passo 2
Primeiro vou determinar o volume mínimo permissível
que foi usado para dizer “seria alcançado em 60 dias” no cenário sem alimentação.
A variação de volume sem alimentação é só consumo linear: após
dias o volume seria
Portanto
Calculemos:
então
Isso significa que, no novo cenário, queremos achar o instante
tal que o volume atinja
.
Passo 3
Agora escrevo a equação do balanço de volumes no novo cenário (com alimentação iniciando em
).
Para um tempo genérico
, o volume no reservatório é
porque até
houve consumo constante
durante
dias e houve adição da vazão
somente entre
e
.
Queremos o tempo
tal que
. Substituindo
e cancelando
dos dois lados, obtemos a equação
Rearranjando,
Isto é uma equação para
desconhecido.
Passo 4
Calculo a integral do termo de alimentação. Lembre que
. Então
Para integrar exponencial, uso que
(porque derivada de
dá
). Assim
Simplificando,
Agora substituo na equação do passo anterior:
Lembre que
.
Passo 5
Temos a equação transcendental
Vamos escrever
, onde
é o tempo extra além dos 60 dias que procuramos. Em termos de
a equação vira
Observe que a vazão
é muito pequena (ordem de dezenas de litros/dia) comparada ao consumo (
L/dia), portanto esperamos
muito pequeno. Isso permite usar uma aproximação linear (expansão de primeira ordem) para
.
Faço:
pois para
vale
.
Substituindo nessa expressão:
Distribuindo:
Isto é
Como
é muito pequeno comparado a
, posso, para primeira boa aproximação, desprezar o termo
no membro esquerdo face ao
do membro direito. Assim obtemos aproximadamente
Então
Passo 6
Agora calculo numericamente os termos exponenciais (vou mostrar valores com algumas casas para ficar claro):
A diferença é
Multiplicando por
e dividindo por
:
Ou seja, em dias:
Converto para segundos para ter uma noção mais palpável:
Passo 7
Interpretação e verificação rápida: a alimentação proposta tem vazão de ordem de dezenas de litros por dia, enquanto o consumo é
litros por dia — por isso a alimentação praticamente não ganha tempo: dá apenas alguns segundos a mais além dos 60 dias. A aproximação linear que usei é apropriada porque o
encontrado é muito pequeno, então os termos de ordem superior em
são desprezíveis.
Força aí! É chato ver que só alguns segundos a mais, mas pelo menos agora você sabe como modelar o balanço e resolver — integral da vazão, montar a equação e usar aproximação para resolver a equação transcendental.