[2,50 pontos ] Durante um intervalo de tempo t, dado em segundos, um corpo gira em torno de um certo eixo. A posição angular é dada por theta(t)=[5,00 t+4,00 t^3-1,00 t^4] rad. Calcule a posição angular do corpo no instante de tempo em que a ACELERAÇÃO ANGULAR é máxima.

Passo 1

O enunciado dá a posição angular
theta(t) = 5,00,t + 4,00,t^3 - 1,00,t^4
em radianos, e pede o valor de theta no instante em que a aceleração angular alpha(t) atinge seu máximo. Vamos usar cálculo de derivadas para obter alpha(t) e então encontrar seu ponto de máximo.

Passo 2

A velocidade angular é a primeira derivada de theta(t) e a aceleração angular é a segunda derivada. Calculamos:
omega(t) = theta'(t) e alpha(t) = theta''(t)
Derivando uma vez,
omega(t) = ddtl(5,00,t + 4,00,t^3 - 1,00,t^4r) = 5,00 + 12,00,t^2 - 4,00,t^3
Derivando de novo,
alpha(t) = ddtl(5 + 12,t^2 - 4,t^3r) = 24,t - 12,t^2

Passo 3

Para achar o máximo de alpha(t), igualamos sua derivada a zero:
dalphadt = 24 - 24,t = 0 Longrightarrow t = 1,0 s
Como alpha(t) é um polinômio quadrático com coeficiente de t^2 negativo, esse ponto é um máximo.

Passo 4

Agora calculamos theta(1,0):
theta(1) = 5,00cdot1 + 4,00cdot1^3 - 1,00cdot1^4 = 5 + 4 - 1 = 8 rad

Resposta

8 rad

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