• 2 - [2,50 pontos] Uma lata cilíndrica tem uma Massa e uma altura H. Quando cheia, ela contem uma massa de refrigerante de densidade constante. Pequenos furos são feitos na base e no topo para drenar o refrigerante (a perda de massa da lata é desprezivel). A altura do centro de massa do conjunto (lata e seu conteúdo) é . Se é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, prove que o valor de quando o centro de massa atinge o
    1,80 ponto mais baixo é dado pela relação:

Passo 1

O enunciado trata de uma lata cilíndrica de massa ML e altura H, cheia com massa mVC de refrigerante de densidade uniforme. À medida que o líquido drena e sua altura restante é x, queremos achar o valor de x que minimiza a altura do centro de massa do conjunto (lata + líquido), digamos h(x).

Passo 2

Vamos escrever h(x) usando a definição de centro de massa de sistemas compostos. A lata, de massa ML, tem centro de massa em H/2. O líquido, de massa l(mVC/Hr)x, tem centro de massa em x/2. Logo
h(x) =ML,H2 ;+;l(mVCHxr),x2 ML+mVCHx =MLH2+mVC,x^22HML+mVCxH

Passo 3

Para minimizar h(x), calculamos dhdx=0. Definindo
N(x)=MLH2+mVC,x^22H, D(x)=ML+mVCxH,
temos
N'(x)=mVC,xH, D'(x)=mVCH,
e a condição N'D-N,D'=0 resulta em
mVC,xHl(ML+mVCxHr) -l(MLH2+mVCx^22Hr)mVCH=0
Multiplicando por H e simplificando chega-se a
MLx+mVC,x^22H-MLH2=0

Passo 4

Multiplicando tudo por 2H obtemos a equação quadrática
mVC,x^2+2,MLH,x - MLH^2=0
As raízes são dadas por fórmula de Bhaskara:
x=-2MLHpmraiz4ML^2H^2+4,mVCMLH^22,mVC = HmVCl(-MLpmraizML(ML+mVC)r)

Passo 5

Como x deve ser não-negativo, escolhemos o sinal “ +” dentro da raiz e fatoramos ML:
x=HmVCl(-ML+raizML^2+MLmVCr) =MLHmVCl(-1+raiz1+mVCMLr)

Resposta

x=MLHmVCl(-1+raiz1+mVCMLr)

Exercícios relacionados