- 2 - [2,50 pontos] Uma lata cilíndrica tem uma Massa
e uma altura H. Quando cheia, ela contem uma massa
de refrigerante de densidade constante. Pequenos furos são feitos na base e no topo para drenar o refrigerante (a perda de massa da lata é desprezivel). A altura do centro de massa do conjunto (lata e seu conteúdo) é
. Se
é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, prove que o valor de
quando o centro de massa atinge o
1,80 ponto mais baixo é dado pela relação:
1,80 ponto mais baixo é dado pela relação:
Passo 1
O enunciado trata de uma lata cilíndrica de massa
e altura
, cheia com massa
de refrigerante de densidade uniforme. À medida que o líquido drena e sua altura restante é
, queremos achar o valor de
que minimiza a altura do centro de massa do conjunto (lata + líquido), digamos
.
Passo 2
Vamos escrever
usando a definição de centro de massa de sistemas compostos. A lata, de massa
, tem centro de massa em
. O líquido, de massa
, tem centro de massa em
. Logo
Passo 3
Para minimizar
, calculamos
. Definindo
temos
e a condição
resulta em
Multiplicando por
e simplificando chega-se a
Passo 4
Multiplicando tudo por
obtemos a equação quadrática
As raízes são dadas por fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Como
deve ser não-negativo, escolhemos o sinal “
” dentro da raiz e fatoramos
: