Posteriormente foi feita uma classificação dos clientes e se constatou que aqueles que possuíam vínculo ao Clube Angeloni daqueles que não tinham o vínculo. Dessa forma o total gasto pelos clientes a cada visita foi dividido em dois grupos, aqueles com Clube Angeloni (CCA) que eram do total e sem Clube Angeloni (SCA) o restante. Um novo ajuste de modelos foi realizado em cada grupo e para o CCA o modelo uniforme com parâmetros e b foi escolhido, e para o SCA o modelo normal com média de R$352 e desvio padrão de R$ 117.
(obs: considere esses clientes independentes uns dos outros.)
Ao abrir o supermercado 21 clientes CCA e 7 clientes SCA entram. Defina a variável gasto total desse grupo de clientes e determine a probabilidade destes em conjunto gastarem um montante igual ou superior a 12788 reais?
(obs: assuma a validade do Teorema Central do Limite)

Passo 1

O enunciado diz que temos dois grupos de clientes independentes: 21 clientes com Clube Angeloni (CCA) cujo gasto individual segue distribuição uniforme em [111,897], e 7 clientes sem Clube Angeloni (SCA) cujo gasto individual segue distribuição normal com média 352 e desvio padrão 117. Definimos a variável aleatória do total gasto por esse grupo de 28 clientes e queremos
Pl(T >= 12788r),
usando o Teorema Central do Limite para aproximar T por uma normal.

Passo 2

Denotemos por
Xi,;i=1,dots,21
os gastos dos clientes CCA (i.i.d.\ uniformes em [111,897]) e por
Yj,;j=1,dots,7
os gastos dos clientes SCA (i.i.d.\ normais N(352,117^2)). O gasto total é
T = sumi=1^21 Xi ;+;sumj=1^7 Yj

Passo 3

Para a distribuição uniforme em [a,b]=[111,897] temos
muX = a+b2 = 111 + 8972 = 504,
sigma^2X = (b-a)^212 = (897 - 111)^212 = 786^212 = 51483
Para a normal Ysim N(muY,sigmaY^2) temos
muY = 352, sigma^2Y = 117^2 = 13689

Passo 4

Pela independência, a soma tem média e variância dadas por
muT = 21,muX + 7,muY = 21cdot504 + 7cdot352 = 10584 + 2464 = 13048,
sigmaT^2 = 21,sigma^2X + 7,sigma^2Y = 21cdot51483 + 7cdot13689 = 1,081,143 + 95,823 = 1,176,966
Assim o desvio padrão de T é
sigmaT = raiz1,176,966approx1085

Passo 5

Pelo Teorema Central do Limite,
T approx Nl(muT,sigmaT^2r)
Queremos
Pl(T >= 12788r) = 1 - Phi!l(12788 - muTsigmaTr) = 1 - Phi!l(12788 - 130481085r) = 1 - Phi(-0,240);=;Phi(0,240)
Da tabela normal, Phi(0,24)approx0,5948.

Resposta

A probabilidade de gastarem conjuntamente pelo menos R$ 12788 é aproximadamente 0,595.

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