Se J=[2 cos (theta) r+sen(theta) theta] / r^3 A / m^2, calcule a corrente que passa através de: (a) uma casca hemisférica de raio de 20 cm e (b) uma casca esférica de raio 10 cm .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos calcular a corrente que passa por duas superfícies diferentes: uma casca hemisférica de raio 20 cm e uma casca esférica completa de raio 10 cm. A matéria envolvida aqui é o cálculo de corrente a partir da densidade de corrente, utilizando integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar saber como integrar vetores em coordenadas esféricas e entender o que cada componente da densidade de corrente representa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente que passa por uma superfície é dada pela integral da densidade de corrente J sobre essa superfície. Ou seja:
I = integral duplaS J cdot dS
Aqui, dS é o vetor de área da superfície.

Passo 3

Vamos analisar a densidade de corrente dada:
J = 2 cos(theta) r + sin(theta) thetar^3 , A/m^2
Isso está em coordenadas esféricas, onde r é a direção radial e theta é a direção polar.

Passo 4

Para a parte (a), que é a casca hemisférica de raio 20 cm (ou 0,2 m), vamos considerar que a superfície está na direção r, já que é uma casca esférica. Ent��o, o vetor de área dS será:
dS = r , r^2 sin(theta) dtheta dphi

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar J cdot dS:
J cdot dS = ( 2 cos(theta) r + sin(theta) thetar^3 ) cdot ( r , r^2 sin(theta) dtheta dphi ) = 2 cos(theta)r^3 cdot r^2 sin(theta) = 2 cos(theta) sin(theta)r

Passo 6

Substituindo r = 0,2 m:
J cdot dS = 2 cos(theta) sin(theta)0,2 = 10 cos(theta) sin(theta)

Passo 7

Agora, vamos integrar sobre a casca hemisférica. Como é hemisfério, theta vai de 0 a pi/2 e phi de 0 a 2pi:
I = integral0^2pi integral0^pi/2 10 cos(theta) sin(theta) dtheta dphi
Primeiro, integramos em theta:
integral0^pi/2 cos(theta) sin(theta) dtheta = 12 sin^2(theta) |0^pi/2 = 12 (1 - 0) = 12
Então:
I = 10 cdot 12 cdot integral0^2pi dphi = 5 cdot 2pi = 10pi , A

Passo 8

Para a parte (b), que é a casca esférica completa de raio 10 cm (ou 0,1 m), o procedimento é similar. O vetor de área agora cobre toda a esfera, então theta varia de 0 a pi.

Passo 9

Calculando o produto escalar J cdot dS para r = 0,1 m:
J cdot dS = 2 cos(theta) sin(theta)0,1 = 20 cos(theta) sin(theta)

Passo 10

Integrando sobre toda a esfera:
I = integral0^2pi integral0^pi 20 cos(theta) sin(theta) dtheta dphi
Primeiro, integramos em theta:
integral0^pi cos(theta) sin(theta) dtheta = 12 sin^2(theta) |0^pi = 12 (0 - 0) = 0
Então:
I = 20 cdot 0 cdot integral0^2pi dphi = 0

Resposta

A corrente que passa através da casca esférica de raio 10 cm é 0 A.

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