Determine o potencial elétrico devido a uma linha de cargas infinita homogênea para qualquer ponto do espaço localizado a uma distancia r desta linha, tomando como referencia V=0 a distancia r=r0. Obtenha a equação das respectivas superfícies equipotenciais. Seria possível adotar V=0 no infinito? Porque?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário. Precisamos determinar o potencial elétrico gerado por uma linha de carga infinita e homogênea em qualquer ponto do espaço a uma distância dessa linha. Além disso, devemos considerar que o potencial na distância . Também vamos encontrar a equação das superfícies equipotenciais e discutir se podemos definir no infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Precisaremos das fórmulas para o potencial elétrico e entender como trabalhar com simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V(r) = lambda2piepsilon0 ln(rr0) em um ponto devido a uma linha de carga infinita pode ser encontrado integrando a contribuição de pequenas partes da linha de carga. A linha de carga tem uma densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento).
A fórmula geral para o potencial elétrico devido a uma linha de carga infinita é:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é a distância do ponto à linha de carga, e é a distância de referência onde escolhemos .

Passo 3

Vamos entender de onde vem essa fórmula. Considerando a simetria cilíndrica da situação (a linha de carga é infinita e uniforme), sabemos que o potencial só depende da distância radial dV = lambda dx2piepsilon0 r a partir da linha.
O diferencial de potencial devido a um pequeno elemento de carga V(r) - V(r0) = lambda2piepsilon0 ln(rr0) em distância V(r) = lambda2piepsilon0 ln(rr0) é:
Integrando ao longo de toda a linha de carga, obtemos:
Como escolhemos , simplificamos para:

Passo 4

Agora, vamos determinar as superfícies equipotenciais, ou seja, as regiões do espaço onde o potencial elétrico V(r) = lambda2piepsilon0 ln(rr0) = constante é constante.
Da equação do potencial:
ln(rr0) = constante
Podemos reescrever isso como:
rr0 = e^constante implies r = r0 e^constante
Elevando dos dois lados:
Isso mostra que as superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos em torno da linha de carga, ou seja, cilindros de raio constante .

Passo 5

Por último, vamos considerar se é possível adotar V(r) = lambda2piepsilon0 ln(rr0) no infinito.
Observando a expressão do potencial:
V(r) infty
Ao fazer tende ao infinito:
Isso significa que o potencial elétrico cresce sem limite à medida que nos afastamos da linha de carga. Portanto, não é possível definir no infinito para uma linha de carga infinita, porque o potencial não se aproxima de zero, mas sim tende ao infinito.

Resposta

O potencial elétrico devido a uma linha de carga infinita homogênea é dado por:
V(r) = lambda2piepsilon0 ln(rr0)
As superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos ao redor da linha de carga, com equação . Além disso, não é possível adotar no infinito porque o potencial tende ao infinito conforme cresce.

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