Usando a lei de Gauss determine o campo elétrico devido a um cilindro metálico de raio R carregado para qualquer distancia medida a partir do eixo de tal cilindro. Use inicialmente o fato de que tal cilindro encontra-se carregado homogeneamente com densidade superficial de cargas rhos. Após isso redefina a densidade de cargas de forma a obter uma densidade linear de cargas rhoL=2 pi R rhos de maneira que seja possível obter a quantidade de carga por unidade de comprimento no cilindro, algo que é útil em vários casos de interesse.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para usarmos a Lei de Gauss para achar o campo elétrico criado por um cilindro metálico de raio que está carregado de maneira homogênea com uma densidade superficial de carga . Depois, vamos redefinir essa densidade para obter uma densidade linear de carga , que é bem útil em vários casos. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a simetrias cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante PhiE = oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 :
Como temos um cilindro carregado, vamos escolher uma superfície gaussiana também em forma de cilindro, coaxial com o cilindro carregado. Isso aproveita a simetria do problema e facilita os cálculos.

Passo 3

Vamos considerar dois casos para a distância Qint = rhos cdot (2 pi R L) em relação ao eixo do cilindro: E cdot (2 pi r L) = rhos cdot (2 pi R L)varepsilon0 (dentro do cilindro) e E = rhos Rvarepsilon0 r (fora do cilindro).
Para Qint = 0 :
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga na área superficial do cilindro:
E cdot (2 pi r L) = 0 implies E = 0
onde é o comprimento do cilindro.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando, encontramos o campo elétrico fora do cilindro:
Para :
Como a carga está distribuída apenas na superfície do cilindro, dentro da superfície gaussiana , não há carga encerrada. Assim,
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 4

Agora, vamos redefinir a densidade de carga para uma densidade linear de carga rhoL = QL = rhos cdot (2 pi R) . Sabemos que a densidade linear é a carga por unidade de comprimento. Já que a carga está distribuída na superfície do cilindro, temos:
rhoL = 2 pi R rhos
Portanto,
E = rhoL2 pi varepsilon0 r
Isso nos ajuda a expressar o campo elétrico de forma mais conveniente:

Resposta

O campo elétrico devido ao cilindro metálico carregado é zero para distâncias menores que o raio E = rhoL2 pi varepsilon0 r e, para qualquer distância a partir do eixo, é dado por:
Onde é a densidade linear de carga.

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