[2.] Encontre a família de curvas integrais da EDO,
\left(y-x y^{2}\right) d x+\left(x+x^{2} y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y-x y^{2}\right)\,dx+\left(x+x^{2} y^{2}\right)\,dy=0,
e pede: encontrar a família de curvas integrais, ou seja, a solução geral implícita F(x,y)=C.
Informações relevantes que já temos (extraídas do enunciado):
  • Podemos identificar M(x,y)=y-x y^{2} como o coeficiente de dx.
  • Podemos identificar N(x,y)=x+x^{2}y^{2} como o coeficiente de dy.
  • O que se pede é uma primitiva (função potencial) F(x,y) tal que \dfrac{\partial F}{\partial x}=M e \dfrac{\partial F}{\partial y}=N, possivelmente depois de multiplicar por um fator integrante se a equação não for exata.

Passo 2

Explicando um pouco a teoria (de forma simples): uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe F(x,y) tal que \partial F/\partial x=M e \partial F/\partial y=N. Um teste prático é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade não valer, às vezes existe um fator integrante \mu(x,y) que, ao multiplicar toda a equação, a torna exata.
Vamos aplicar o teste de exatidão.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y-x y^{2}\bigr)=1-2xy,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x+x^{2}y^{2}\bigr)=1+2xy^{2}.
Como
1-2xy \neq 1+2xy^{2}
em geral, a equação não é exata diretamente.

Passo 3

Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante do tipo \mu(x,y)=x^{m}y^{n}. Isso é uma escolha clássica quando M e N são polinomiais em x,y.
Explicando a ideia: queremos \mu M\,dx+\mu N\,dy exata, ou seja
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Para \mu=x^{m}y^{n} calculamos primeiro \mu M e \mu N:
\mu M = x^{m}y^{n}\bigl(y-x y^{2}\bigr)=x^{m}y^{n+1}-x^{m+1}y^{n+2},
\mu N = x^{m}y^{n}\bigl(x+x^{2}y^{2}\bigr)=x^{m+1}y^{n}+x^{m+2}y^{n+2}.

Passo 4

Agora derivamos:
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=(n+1)x^{m}y^{n}-(n+2)x^{m+1}y^{n+1},
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)=(m+1)x^{m}y^{n}+(m+2)x^{m+1}y^{n+2}.
Dividindo por x^{m}y^{n} (assumindo x\neq0,y\neq0 momentaneamente) obtemos a equação
(n+1)-(n+2)xy=(m+1)+(m+2)xy^{2}.
Para que essa identidade em x,y seja verdadeira para todos x,y, devemos igualar os termos correspondentes. Note que do lado esquerdo aparece um termo proporcional a xy e do lado direito um termo proporcional a xy^{2}; para que não haja incompatibilidade, os coeficientes desses termos devem ser nulos e os termos constantes devem coincidir. Assim:
n+1=m+1\quad\Rightarrow\quad n=m,
e
n+2=0\quad\text{e}\quad m+2=0\quad\Rightarrow\quad m=n=-2.
Portanto um fator integrante que funciona é
\mu(x,y)=x^{-2}y^{-2}=\frac{1}{x^{2}y^{2}}.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu. Primeiro calculemos \mu M e \mu N explicitamente (pegando os termos da equação original):
\mu M=\frac{y-x y^{2}}{x^{2}y^{2}}=\frac{1}{x^{2}y}-\frac{1}{x},
\mu N=\frac{x+x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}}=\frac{1}{x y^{2}}+1.
Verificação rápida de exatidão:
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{x^{2}y}-\frac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{x^{2}y^{2}},
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{x y^{2}}+1\Bigr)=-\frac{1}{x^{2}y^{2}}.
Como as derivadas coincidem, a equação multiplicada por \mu é exata.

Passo 6

Agora existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=\mu M=\frac{1}{x^{2}y}-\frac{1}{x}.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}y}-\frac{1}{x}\Bigr)\,dx =\frac{1}{y}\int x^{-2}\,dx-\int \frac{1}{x}\,dx.
Calculemos as integrais separadamente:
\frac{1}{y}\int x^{-2}\,dx=\frac{1}{y}\bigl(-x^{-1}\bigr)=-\frac{1}{xy},
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Portanto
F(x,y)=-\frac{1}{xy}-\ln|x|+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (constante de integração relativa a x).
Para achar h(y), usamos \partial F/\partial y=\mu N. Calculamos:
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{1}{xy}-\ln|x|+h(y)\Bigr) =\frac{1}{x y^{2}}+h'(y).
Igualando a \mu N=\dfrac{1}{x y^{2}}+1 obtemos
\frac{1}{x y^{2}}+h'(y)=\frac{1}{x y^{2}}+1 \quad\Rightarrow\quad h'(y)=1.
Assim h(y)=y+ constante. Podemos incorporar essa constante final na constante da solução implícita.
Logo a função potencial (sem a constante arbitrária) é
F(x,y)=-\frac{1}{xy}-\ln|x|+y.

Passo 7

A solução geral implícita (família de curvas integrais) é dada por
F(x,y)=C,
ou seja
-\frac{1}{xy}-\ln|x|+y=C.
Podemos reescrever de forma levemente rearranjada (mais legível):
y-\ln|x|-\frac{1}{xy}=C.

Resposta

y-\ln|x|-\frac{1}{xy}=C

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