[2.] Encontre a família de curvas integrais da EDO,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: encontrar a família de curvas integrais, ou seja, a solução geral implícita
.
Informações relevantes que já temos (extraídas do enunciado):
- Podemos identificar
como o coeficiente de . - Podemos identificar
como o coeficiente de . - O que se pede é uma primitiva (função potencial)
tal que e , possivelmente depois de multiplicar por um fator integrante se a equação não for exata.
Passo 2
Explicando um pouco a teoria (de forma simples): uma equação diferencial na forma
é exata se existe
tal que
e
. Um teste prático é verificar se
Se essa igualdade não valer, às vezes existe um fator integrante
que, ao multiplicar toda a equação, a torna exata.
Vamos aplicar o teste de exatidão.
Calculemos as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação não é exata diretamente.
Passo 3
Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante do tipo
. Isso é uma escolha clássica quando
e
são polinomiais em
.
Explicando a ideia: queremos
exata, ou seja
Para
calculamos primeiro
e
:
Passo 4
Agora derivamos:
Dividindo por
(assumindo
momentaneamente) obtemos a equação
Para que essa identidade em
seja verdadeira para todos
, devemos igualar os termos correspondentes. Note que do lado esquerdo aparece um termo proporcional a
e do lado direito um termo proporcional a
; para que não haja incompatibilidade, os coeficientes desses termos devem ser nulos e os termos constantes devem coincidir. Assim:
e
Portanto um fator integrante que funciona é
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Primeiro calculemos
e
explicitamente (pegando os termos da equação original):
Verificação rápida de exatidão:
Como as derivadas coincidem, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 6
Agora existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
Calculemos as integrais separadamente:
Portanto
onde
é uma função a determinar (constante de integração relativa a
).
Para achar
, usamos
. Calculamos:
Igualando a
obtemos
Assim
constante. Podemos incorporar essa constante final na constante da solução implícita.
Logo a função potencial (sem a constante arbitrária) é
Passo 7
A solução geral implícita (família de curvas integrais) é dada por
ou seja
Podemos reescrever de forma levemente rearranjada (mais legível):