Determine um fator integrante para cada uma das EDOs, e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede:
- Encontrar um fator integrante (ou seja, uma função
que, multiplicada pela equação, torne-a exata). - Em seguida encontrar a solução geral da EDO.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos escrever a EDO na forma
com
Passo 2
Teste de exatidão (passo fundamental antes de procurar fator integrante). Para a equação ser exata precisamos ter
.
Calcule as derivadas parciais:
Como
a equação NÃO é exata. Precisamos, então, de um fator integrante
.
Passo 3
Tentar fatores integrantes que dependam só de
ou só de
(método padrão):
-
Para
é necessário que seja função só de .
Aquique depende de, não de . Logo não existe . -
Para
é necessário que seja função só de .
Aquique depende dee . Logo não existe .
Portanto, um fator integrante que dependa só de
ou só de
não funciona. Uma alternativa usual é tentar um fator integrante do tipo potencial (misto)
com expoentes
reais.
Explicação rápida do porquê: fatores da forma
são uma família simples que às vezes tornam a equação exata; determinam-se
exigindo a condição de exatidão depois de multiplicar a equação por
.
Passo 4
Tomar
. Multiplicando a equação original por
obtemos
A condição de exatidão é
.
Calcule
:
Calcule
:
Igualando as duas expressões e cancelando o fator comum
(assumindo
):
Para que isto seja verdade para todos os
precisamos que o coeficiente de
seja zero e que as constantes coincidam:
e então
Logo um fator integrante adequado é
Passo 5
Multiplique a equação original por
. Os coeficientes ficam:
Verificação de exatidão:
logo
e a equação multiplicada é exata.
Passo 6
Agora existe uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em
para obter
:
Integração em
:
Como
é tratado como constante na integração em
,
Logo
onde
é uma função arbitrária de
.
Agora imponha
. Calcule
:
Igualando a
:
Logo
é constante. Denotando essa constante por
, a condição potencial é
Pode-se reescrever de forma mais agradável isolando o sinal:
onde
é outra constante arbitrária. Esta é a solução implícita geral.