Determine um fator integrante para cada uma das EDOs, e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas,
\left(y-x y^{2}\right) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y-x y^{2}\right)\,dx + x\,dy = 0.
O que se pede:
  • Encontrar um fator integrante (ou seja, uma função \mu(x,y) que, multiplicada pela equação, torne-a exata).
  • Em seguida encontrar a solução geral da EDO.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos escrever a EDO na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=y-x y^{2},\qquad N(x,y)=x.

Passo 2

Teste de exatidão (passo fundamental antes de procurar fator integrante). Para a equação ser exata precisamos ter \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 1-2xy, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\quad(\text{pois }1-2xy \neq 1\text{ em geral}),
a equação NÃO é exata. Precisamos, então, de um fator integrante \mu.

Passo 3

Tentar fatores integrantes que dependam só de x ou só de y (método padrão):
  • Para \mu=\mu(x) é necessário que \dfrac{M_y-N_x}{N} seja função só de x.
    Aqui
    \frac{M_y-N_x}{N}=\frac{(1-2xy)-1}{x}=\frac{-2xy}{x}=-2y,
    que depende de y, não de x. Logo não existe \mu=\mu(x).
  • Para \mu=\mu(y) é necessário que \dfrac{N_x-M_y}{M} seja função só de y.
    Aqui
    \frac{N_x-M_y}{M}=\frac{1-(1-2xy)}{y-xy^2}=\frac{2xy}{y(1-xy)}=\frac{2x}{1-xy},
    que depende de x e y. Logo não existe \mu=\mu(y).
Portanto, um fator integrante que dependa só de x ou só de y não funciona. Uma alternativa usual é tentar um fator integrante do tipo potencial (misto) \mu(x,y)=x^{a}y^{b} com expoentes a,b reais.
Explicação rápida do porquê: fatores da forma x^{a}y^{b} são uma família simples que às vezes tornam a equação exata; determinam-se a,b exigindo a condição de exatidão depois de multiplicar a equação por \mu.

Passo 4

Tomar \mu(x,y)=x^{a}y^{b}. Multiplicando a equação original por \mu obtemos
\tilde M(x,y)=x^{a}y^{b}(y-x y^{2})=x^{a}y^{b+1}-x^{a+1}y^{b+2},
\tilde N(x,y)=x^{a}y^{b}\cdot x=x^{a+1}y^{b}.
A condição de exatidão é \partial \tilde M/\partial y = \partial \tilde N/\partial x.
Calcule \partial \tilde M/\partial y:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = x^{a}\big((b+1)y^{b} - (b+2)x y^{b+1}\big) = x^{a}y^{b}\big(b+1 - (b+2)xy\big).
Calcule \partial \tilde N/\partial x:
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=(a+1)x^{a}y^{b}.
Igualando as duas expressões e cancelando o fator comum x^{a}y^{b} (assumindo x\neq0,y\neq0):
b+1 - (b+2)xy = a+1 \quad\text{para todos }(x,y).
Para que isto seja verdade para todos os x,y precisamos que o coeficiente de xy seja zero e que as constantes coincidam:
-(b+2)=0 \quad\Rightarrow\quad b=-2,
e então
b+1 = a+1 \quad\Rightarrow\quad -2+1 = a+1 \quad\Rightarrow\quad a=-2.
Logo um fator integrante adequado é
\mu(x,y)=x^{-2}y^{-2}=\frac{1}{x^{2}y^{2}}.

Passo 5

Multiplique a equação original por \mu=\dfrac{1}{x^{2}y^{2}}. Os coeficientes ficam:
\tilde M(x,y)=\frac{y-x y^{2}}{x^{2}y^{2}}=\frac{1}{x^{2}y}-\frac{1}{x}, \qquad \tilde N(x,y)=\frac{x}{x^{2}y^{2}}=\frac{1}{x y^{2}}.
Verificação de exatidão:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=-\frac{1}{x^{2}y^{2}}, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=-\frac{1}{x^{2}y^{2}},
logo \partial \tilde M/\partial y=\partial \tilde N/\partial x e a equação multiplicada é exata.

Passo 6

Agora existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=\tilde M e \Psi_y=\tilde N. Integramos \tilde M em x para obter \Psi:
Integração em x:
\Psi(x,y)=\int \left(\frac{1}{x^{2}y}-\frac{1}{x}\right)\,dx = \int \frac{1}{y}x^{-2}\,dx - \int x^{-1}\,dx.
Como y é tratado como constante na integração em x,
\int \frac{1}{y}x^{-2}\,dx=\frac{1}{y}\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{xy}, \qquad \int x^{-1}\,dx=\ln|x|.
Logo
\Psi(x,y)=-\frac{1}{xy}-\ln|x| + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.
Agora imponha \Psi_y=\tilde N=\dfrac{1}{x y^{2}}. Calcule \Psi_y:
\Psi_y=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{1}{xy}-\ln|x|+h(y)\right) =\frac{1}{x y^{2}} + h'(y).
Igualando a \tilde N:
\frac{1}{x y^{2}} + h'(y)=\frac{1}{x y^{2}}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante. Denotando essa constante por C, a condição potencial é
-\frac{1}{xy}-\ln|x| = C.
Pode-se reescrever de forma mais agradável isolando o sinal:
\ln|x| + \frac{1}{xy} = C',
onde C'=-C é outra constante arbitrária. Esta é a solução implícita geral.

Resposta

\displaystyle \mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}y^{2}}
\displaystyle \ln|x|+\frac{1}{x y}=C

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