(a) (2 pontos) Utilizando séries, encontre a solução y_{1}(t)=e^{t^{2}} da EDO.
(b) ( 2 pontos) Utilizando redução de ordem, encontre uma segunda solução y_{2} linearmente independente com y_{1}. Não utilize fórmulas explícitas do método.
(c) ( 0,5 ponto) Resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-2 t y^{\prime}-2 y=0,\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y^{\prime}(0)=0, \end{array}\right.
e pede três coisas:
(a) utilizar séries de potências para encontrar uma solução \,y_{1}(t)=e^{t^{2}}\, da EDO;
(b) usando redução de ordem (sem recorrer a fórmulas prontas), obter uma segunda solução y_{2} linearmente independente de y_{1};
(c) resolver o PVI (ou seja, encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A equação diferencial linear homogênea de segunda ordem é \,y^{\prime\prime}-2t y^{\prime}-2y=0.
As condições iniciais são \,y(0)=1 e \,y'(0)=0.
Devemos produzir uma solução pela série (parte a) e outra pela redução de ordem (parte b).]
Passo 2
Começo a parte (a) propondo uma solução em série de potências centrada em 0. Suponho
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Vou calcular y' e y'' em termos dessa série:
usando troca de índice. Assim, para n\ge 0 o coeficiente de t^n na soma total é
(n+2)(n+1)a_{n+2} - 2n a_n - 2 a_n = 0.
Agrupando a_n:
(n+2)(n+1)a_{n+2} - 2(n+1)a_n = 0.
Como n+1\neq 0 para n\ge 0, obtemos a relação de recorrência
\boxed{\;a_{n+2}=\dfrac{2}{n+2}\,a_n\;}\qquad\text{para todo }n\ge 0.]
Passo 4
A recorrência liga coeficientes de mesma paridade: os a_{2k} dependem de a_0 e os a_{2k+1} dependem de a_1. Vou estudar a sequência dos coeficientes pares tomando n=2k:
Reconhecendo a série da exponencial, concluo que essa solução é exatamente
\boxed{\,y_1(t)=e^{t^{2}}\,.}
Observação rápida (verificação): derivando y_1 e substituindo na EDO mostra que y_1''-2t y_1' -2 y_1=0 (pode ser verificado diretamente), então a série realmente representa uma solução da EDO.
Passo 5
Agora parte (b): encontrar uma segunda solução linearmente independente de y_1 por redução de ordem (sem usar fórmulas prontas). A ideia é procurar y_2 da forma
y_2(t)=u(t)\,y_1(t)=u(t)\,e^{t^2},
onde u(t) é função a determinar. Vou calcular y_2' e y_2'' de forma organizada.
onde fixei a constante de integração escolhendo a integral indefinida com limite inferior 0 (qualquer outra constante apenas somaria múltiplos de y_1). Para checar independência linear, basta ver o Wronskiano em t=0: y_1(0)=1,\; y_1'(0)=0,\; y_2(0)=0,\; y_2'(0)=1, então