[1] \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{5}+x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+3 x+1\right). Neste caso P(x)=x^{5}+x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+3 x+1; logo, \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{5}+x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+3 x+1\right)=\lim _{x \rightarrow 1} P(x)=P(1)=9.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\bigl(x^{5}+x^{4}+2x^{3}+x^{2}+3x+1\bigr).
As informações dadas são:
  • A função é o polinômio P(x)=x^{5}+x^{4}+2x^{3}+x^{2}+3x+1.
  • Quer-se o valor de \lim_{x\to 1}P(x).
    Nada mais é fornecido; o objetivo é encontrar esse número.

Passo 2

Idéia-chave (explicada de forma direta): polinômios são funções que se obtêm somando e multiplicando potências de x por constantes. Há regras básicas de limite que nos permitem tratar cada termo separadamente:
  • Regra da soma: \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x), quando os limites existem.
  • Regra do produto: \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x), quando os limites existem.
  • Regra da constante: \displaystyle \lim_{x\to a}c= c para qualquer constante c.
  • Regra da multiplicação por constante: \displaystyle \lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x).
  • Potência: a partir do produto repetido, \displaystyle \lim_{x\to a}x^{n}=a^{n} para inteiro n\ge 1.
Em linguagem mais simples: podemos calcular o limite de cada termo do polinômio e depois somá-los; em particular \lim_{x\to 1}x^{n}=1^{n}=1.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo:
\lim_{x\to 1}x^{5}=1, \qquad \lim_{x\to 1}x^{4}=1, \qquad \lim_{x\to 1}x^{3}=1,
\lim_{x\to 1}x^{2}=1, \qquad \lim_{x\to 1}x=1, \qquad \lim_{x\to 1}1=1.
Usando a regra da multiplicação por constante:
\lim_{x\to 1}2x^{3}=2\cdot\lim_{x\to 1}x^{3}=2\cdot 1=2, \qquad \lim_{x\to 1}3x=3\cdot\lim_{x\to 1}x=3\cdot 1=3.

Passo 4

Somando os limites dos termos (pela regra da soma):
\lim_{x\to 1}P(x) = \lim_{x\to 1}x^{5}+\lim_{x\to 1}x^{4}+\lim_{x\to 1}2x^{3}+\lim_{x\to 1}x^{2}+\lim_{x\to 1}3x+\lim_{x\to 1}1
=1+1+2+1+3+1=9.

Passo 5

Observação prática para a prova: como polinômios são contínuos em todo ponto, sempre que o limite é de um polinômio em x\to a basta fazer a substituição direta x=a. Ou seja, \lim_{x\to a}P(x)=P(a). Aqui isso dá P(1)=9.

Resposta

9

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