[2, pag 158-36] Quais dos subconjuntos de
(\mathbb{Z}_{13}) são subgrupos em relação à multiplicação usual?
{\overline{1}, \overline{12}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
1,12
de Z13 forma um subgrupo quando a operação é a multiplicação módulo 13.
Para isso lembramos que, num grupo, um subconjunto H é subgrupo se (i) contém a identidade, (ii) é fechado na operação e (iii) cada elemento tem inverso em H.

Passo 2

Identificamos o grupo ambientede: Z13^*=1,2,dots,12 com multiplicação módulo 13. A identidade é 1.

Passo 3

Verificamos se 1 está no subconjunto. De fato,
1in1,12,
logo a identidade está presente.

Passo 4

Testamos a fechadura sob produto módulo 13. Calculamos todos os produtos:
1cdot1=1, 1cdot12=12, 12cdot12=144=1
Todos os resultados estão em 1,12, então o conjunto é fechado.

Passo 5

Verificamos inversos dentro do subconjunto.
— O inverso de 1 é 1.
— O inverso de 12 deve satisfazer 12cdot x=1; como 12cdot12=1, temos x=12.
Ambos os inversos estão no subconjunto.

Resposta

O conjunto 1,12 satisfaz identidade, fechadura e inversos; portanto é de fato um subgrupo de Z13^* sob multiplicação.

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