[2, pag 158-21] Se a, b, c são três elementos quaisquer de um grupo multiplicativo G, descreva x in G, em função de a, b, c, onde a x b c x=a b x.

Passo 1

O enunciado pede encontrar xin G em função de a,b,c de modo que
a,x,b,c,x ;=; a,b,x
O conteúdo que vamos usar é a lei de cancelamento em grupos e a existência de inversos.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados à esquerda por a^-1 para cancelar a:
a^-1(a,x,b,c,x) ;=; a^-1(a,b,x) Longrightarrow x,b,c,x ;=; b,x

Passo 3

Agora multiplicamos à direita por x^-1$ para cancelar x no lado direito:
(x,b,c,x),x^-1 ;=; (b,x),x^-1 Longrightarrow x,b,c ;=; b

Passo 4

Para isolar x, multiplicamos à direita por c^-1 e depois por b^-1:
x,b,c,c^-1 = b,c^-1 Longrightarrow x,b = b,c^-1,
x,b,b^-1 = (b,c^-1),b^-1 Longrightarrow x = b,c^-1,b^-1

Resposta

x = b,c^-1,b^-1

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