- [2,5 ponto(s)] Um capacitor de placas paralelas tem área de placa
(grande) e separação entre as placas
(pequena), de modo que efeitos de borda podem ser desprezados. Uma lâmina dielétrica de constante dielétrica
e espessura
, com
, é inserida paralelamente às placas (cf. figura).
(a) [0,8 ponto] Determine a capacitância equivalente
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Condições geométricas e materiais fornecidas:
- Placas paralelas com área de cada placa
. - Separação entre as placas
. - Uma lâmina dielétrica de constante dielétrica
e espessura , com , inserida paralelamente às placas.
- Placas paralelas com área de cada placa
- O que se pede:
- Determinar a capacitância equivalente
em termos de e .
- Determinar a capacitância equivalente
Passo 2
Entendendo a configuração física (conceito importante): quando uma lâmina dielétrica ocupa parte da distância entre as placas, existem duas regiões ao longo da direção do campo elétrico: a região preenchida pelo dielétrico (espessura
) e a região de vácuo/ar (espessura
). Nessa geometria as duas camadas ficam uma “em sequência” entre as placas, ou seja, o campo elétrico atravessa primeiro uma camada e depois a outra. Por isso o circuito elétrico equivalente é de capacitores em série: um capacitor representando a região com dielétrico e outro representando a região sem dielétrico.
Mini-aula (por que série?): para capacitores em série a mesma carga
aparece nas faces e as diferenças de potencial somam:
Dividindo por
obtém-se
que é a regra de combinação em série. Irei usar essa regra porque as duas camadas ocupam fatias sucessivas entre as placas.
Passo 3
Expressar a capacitância de cada camada usando a fórmula do capacitor de placas paralelas (fórmula básica que precisa saber):
onde:
-
é a permissividade do meio entre as placas ( no vácuo e no dielétrico), -
é a área das placas, -
é a espessura da camada (distância entre as superfícies equipotenciais dessa camada).
Aplicando ao problema:
- Para a camada dielétrica (espessura
, permissividade ):
- Para a camada de vácuo/ar restante (espessura
, permissividade ):
(Nestas expressões foi usada diretamente a informação da espessura da lâmina
e da separação total
fornecidas no enunciado.)
Passo 4
Aplicar a regra de capacitores em série:
Substituindo
e
:
Colocando em evidência
:
Invertemos para obter
:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Esta é a forma final simplificada.
Passo 5
Verificação por casos-limite (checar se a fórmula faz sentido — hábito útil na prova):
- Se
(nenhum dielétrico inserido), a expressão dá
que é o capacitor sem dielétrico — correto.
- Se
(o dielétrico preenche toda a separação), dá
que é o capacitor totalmente preenchido por dielétrico — correto.
Bom trabalho! Essa é a expressão que será útil na prova — memorizando a ideia: camadas ao longo da direção do campo → série; usar
.