1. [2,5 ponto(s)] Um capacitor de placas paralelas tem área de placa A (grande) e separação entre as placas L (pequena), de modo que efeitos de borda podem ser desprezados. Uma lâmina dielétrica de constante dielétrica K e espessura \lambda L, com 0 \leq \lambda \leq 1, é inserida paralelamente às placas (cf. figura).
(a) [0,8 ponto] Determine a capacitância equivalente C_{\mathrm{eq}} em termos de K, \varepsilon_{0}, A, L e \lambda.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Condições geométricas e materiais fornecidas:
    • Placas paralelas com área de cada placa A.
    • Separação entre as placas L.
    • Uma lâmina dielétrica de constante dielétrica K e espessura \lambda L, com 0 \le \lambda \le 1, inserida paralelamente às placas.
  • O que se pede:
    • Determinar a capacitância equivalente C_{\mathrm{eq}} em termos de K,\\ \varepsilon_{0},\\ A,\\ L e \lambda.

Passo 2

Entendendo a configuração física (conceito importante): quando uma lâmina dielétrica ocupa parte da distância entre as placas, existem duas regiões ao longo da direção do campo elétrico: a região preenchida pelo dielétrico (espessura \lambda L) e a região de vácuo/ar (espessura L-\lambda L=(1-\lambda)L). Nessa geometria as duas camadas ficam uma “em sequência” entre as placas, ou seja, o campo elétrico atravessa primeiro uma camada e depois a outra. Por isso o circuito elétrico equivalente é de capacitores em série: um capacitor representando a região com dielétrico e outro representando a região sem dielétrico.
Mini-aula (por que série?): para capacitores em série a mesma carga Q aparece nas faces e as diferenças de potencial somam:
V_{\text{total}}=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}.
Dividindo por Q obtém-se
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},
que é a regra de combinação em série. Irei usar essa regra porque as duas camadas ocupam fatias sucessivas entre as placas.

Passo 3

Expressar a capacitância de cada camada usando a fórmula do capacitor de placas paralelas (fórmula básica que precisa saber):
C=\frac{\varepsilon A}{d},
onde:
  • \varepsilon é a permissividade do meio entre as placas ( \varepsilon=\varepsilon_0 no vácuo e \varepsilon=K\varepsilon_0 no dielétrico),
  • A é a área das placas,
  • d é a espessura da camada (distância entre as superfícies equipotenciais dessa camada).
Aplicando ao problema:
  • Para a camada dielétrica (espessura d_{\mathrm{d}}=\lambda L, permissividade K\varepsilon_0):
C_{\mathrm{d}}=\frac{K\varepsilon_{0}A}{\lambda L}.
  • Para a camada de vácuo/ar restante (espessura d_{\mathrm{a}}=(1-\lambda)L, permissividade \varepsilon_0):
C_{\mathrm{a}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{(1-\lambda)L}.
(Nestas expressões foi usada diretamente a informação da espessura da lâmina \lambda L e da separação total L fornecidas no enunciado.)

Passo 4

Aplicar a regra de capacitores em série:
\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{C_{\mathrm{d}}}+\frac{1}{C_{\mathrm{a}}}.
Substituindo C_{\mathrm{d}} e C_{\mathrm{a}}:
\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\frac{\lambda L}{K\varepsilon_{0}A}+\frac{(1-\lambda)L}{\varepsilon_{0}A}.
Colocando em evidência \dfrac{L}{\varepsilon_0 A}:
\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\frac{L}{\varepsilon_{0}A}\left(\frac{\lambda}{K}+(1-\lambda)\right).
Invertemos para obter C_{\mathrm{eq}}:
C_{\mathrm{eq}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{L}\cdot\frac{1}{\dfrac{\lambda}{K}+(1-\lambda)}.
Multiplicando numerador e denominador por K para simplificar:
C_{\mathrm{eq}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{L}\cdot\frac{K}{\lambda+K(1-\lambda)}.
Esta é a forma final simplificada.

Passo 5

Verificação por casos-limite (checar se a fórmula faz sentido — hábito útil na prova):
  • Se \lambda=0 (nenhum dielétrico inserido), a expressão dá
C_{\mathrm{eq}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{L}\cdot\frac{K}{0+K(1)}=\frac{\varepsilon_{0}A}{L},
que é o capacitor sem dielétrico — correto.
  • Se \lambda=1 (o dielétrico preenche toda a separação), dá
C_{\mathrm{eq}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{L}\cdot\frac{K}{1+K(0)}=\frac{K\varepsilon_{0}A}{L},
que é o capacitor totalmente preenchido por dielétrico — correto.
Bom trabalho! Essa é a expressão que será útil na prova — memorizando a ideia: camadas ao longo da direção do campo → série; usar C=\varepsilon A/d.

Resposta

C_{\mathrm{eq}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{L}\cdot\frac{K}{\lambda+K(1-\lambda)}

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