- [1,0 ponto(s)] Três configurações de campo vetorial são propostas como possíveis campos magnéticos estacionários, mas não uniformes, em uma certa região do espaço (em todas,
é uma constante):
(I)
(campo radial em coordenadas esféricas, com módulo proporcional à distância
à origem);
(II)
(campo azimutal em coordenadas cilíndricas, com módulo inversamente proporcional à distância
ao eixo);
(III)
(campo paralelo em coordenadas cartesianas retangulares, com módulo proporcional a
).
Qual(is) dessas configurações viola(m) nitidamente a condição
.
?
(a) Nenhuma delas.
(b) Somente a (I).
(C) Somente a (I) e a (III).
(d) Somente a (II) e a (III).
(e) Somente a (I) e a (II).
(f) Somente a (III).
(g) Somente a (II).
(h) Todas elas.
(I)
(II)
(III)
(a) Nenhuma delas.
(b) Somente a (I).
(C) Somente a (I) e a (III).
(d) Somente a (II) e a (III).
(e) Somente a (I) e a (II).
(f) Somente a (III).
(g) Somente a (II).
(h) Todas elas.
Passo 1
O enunciado dá três campos vetoriais estacionários (constante
é dada) e pede: quais dessas configurações violam a condição
As informações fornecidas são:
- (I)
(campo radial em coordenadas esféricas; módulo proporcional a ); - (II)
(campo azimutal em coordenadas cilíndricas; módulo ); - (III)
(campo paralelo em cartesianas; componente -dependente).
A pergunta é única: identificar quais (I), (II), (III) fazem com que a flux do campo através de qualquer superfície fechada seja diferente de zero (ou seja, que violem a igualdade indicada).
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (aqui explico com calma):
- A condição
para todo fecho é equivalente à condição diferencial
em toda a região onde o campo é bem definido. Isso vem do Teorema da Divergência (Gauss): para um volume
com superfície
,
- Portanto, uma forma prática de testar se a condição é violada é calcular
. Se em algum ponto do volume, então existem superfícies fechadas com fluxo não nulo (violação). Se em toda a região de interesse (exceto possivelmente singularidades isoladas, que exigem atenção), então a condição não é violada nessa região.
Vou calcular
para cada caso, usando a forma apropriada do operador divergente na coordenada conveniente.
Passo 3
Campo (I):
(só componente radial em coordenadas esféricas).
Fórmula útil: para um campo puramente radial
em coordenadas esféricas,
Aqui
. Então
Dividindo por
dá
Como
e
é constante não nula em geral, a divergência é não nula. Portanto (I) viola a condição
.
Intuição rápida: um campo radial que cresce com
tem mais “linhas saindo” do que entrando — comportamento de uma “fonte” (como um monopolo) — logo fluxo não nulo.
Passo 4
Campo (II):
em coordenadas cilíndricas
.
Fórmula útil: a divergência em coordenadas cilíndricas para
é
No nosso caso
,
(depende só de
),
. Então
Portanto a divergência é zero em todos os pontos onde o campo é bem definido (isto é, para
). Observação sobre a singularidade: o campo tem singularidade em
(e a expressão não vale lá), mas isso não significa automaticamente monopolo magnético. Uma verificação de fluxo simples: considere um cilindro coaxial fechado; a contribuição do fluxo pelas paredes laterais e tampas é nula porque
é puramente azimutal (ortogonal aos vetores normais dessas superfícies). Logo o fluxo total por um cilindro fechado é zero. De modo geral, embora haja singularidade no eixo, o campo azimutal
é análogo ao campo magnético de uma corrente filamentar e não gera fluxo líquido através de superfícies fechadas (não há “carga” magnética). Assim (II) NÃO viola a condição.
Passo 5
Campo (III):
(cartesiano).
Fórmula útil: em coordenadas cartesianas,
Aqui
,
,
. Então
Como
é, em geral, não nulo, a divergência é
. Logo (III) também viola a condição
.
Intuição: um campo que cresce linearmente na direção
cria mais linhas saindo de uma região do que entrando — novamente comportamento de fonte.
Passo 6
Resumo e conclusão geral:
- (I) tem
→ viola. - (II) tem
para e, apesar da singularidade no eixo, não produz fluxo líquido por superfícies fechadas → não viola. - (III) tem
→ viola.
Portanto as configurações que violam nitidamente a condição são (I) e (III).
Resposta
(C) Somente a (I) e a (III).