1. [1,0 ponto(s)] Três configurações de campo vetorial são propostas como possíveis campos magnéticos estacionários, mas não uniformes, em uma certa região do espaço (em todas, C é uma constante):
    (I) \vec{B}_{\mathrm{I}}=\operatorname{Cr} \hat{r} \quad (campo radial em coordenadas esféricas, com módulo proporcional à distância r à origem);
    (II) \vec{B}_{\mathrm{II}}=\frac{C}{s} \hat{\varphi} (campo azimutal em coordenadas cilíndricas, com módulo inversamente proporcional à distância s ao eixo);
    (III) \vec{B}_{\text {III }}=C x \hat{x} (campo paralelo em coordenadas cartesianas retangulares, com módulo proporcional a x ).
Qual(is) dessas configurações viola(m) nitidamente a condição \oint_{\mathcal{S}} \vec{B}. d \vec{A}=0 ?
(a) Nenhuma delas.
(b) Somente a (I).
(C) Somente a (I) e a (III).
(d) Somente a (II) e a (III).
(e) Somente a (I) e a (II).
(f) Somente a (III).
(g) Somente a (II).
(h) Todas elas.

Passo 1

O enunciado dá três campos vetoriais estacionários (constante C é dada) e pede: quais dessas configurações violam a condição
\oint_{\mathcal{S}} \vec{B}\cdot d\vec{A}=0 ?
As informações fornecidas são:
  • (I) \vec{B}_{\mathrm{I}}=\operatorname{C r}\,\hat{r} (campo radial em coordenadas esféricas; módulo proporcional a r);
  • (II) \vec{B}_{\mathrm{II}}=\dfrac{C}{s}\,\hat{\varphi} (campo azimutal em coordenadas cilíndricas; módulo \propto 1/s);
  • (III) \vec{B}_{\mathrm{III}}=C x\,\hat{x} (campo paralelo em cartesianas; componente x-dependente).
A pergunta é única: identificar quais (I), (II), (III) fazem com que a flux do campo através de qualquer superfície fechada seja diferente de zero (ou seja, que violem a igualdade indicada).

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (aqui explico com calma):
  • A condição \oint_{\mathcal{S}} \vec{B}\cdot d\vec{A}=0 para todo fecho \mathcal{S} é equivalente à condição diferencial
\nabla\cdot\vec{B}=0
em toda a região onde o campo é bem definido. Isso vem do Teorema da Divergência (Gauss): para um volume V com superfície \mathcal{S}=\partial V,
\oint_{\mathcal{S}} \vec{B}\cdot d\vec{A}=\int_{V} (\nabla\cdot\vec{B})\,dV.
  • Portanto, uma forma prática de testar se a condição é violada é calcular \nabla\cdot\vec{B}. Se \nabla\cdot\vec{B}\neq 0 em algum ponto do volume, então existem superfícies fechadas com fluxo não nulo (violação). Se \nabla\cdot\vec{B}=0 em toda a região de interesse (exceto possivelmente singularidades isoladas, que exigem atenção), então a condição não é violada nessa região.
Vou calcular \nabla\cdot\vec{B} para cada caso, usando a forma apropriada do operador divergente na coordenada conveniente.

Passo 3

Campo (I): \vec{B}_{\mathrm{I}}=\operatorname{C r}\,\hat{r} (só componente radial em coordenadas esféricas).
Fórmula útil: para um campo puramente radial B_r(r)\,\hat r em coordenadas esféricas,
\nabla\cdot\vec{B}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}B_{r}(r)\big).
Aqui B_{r}(r)=C r. Então
\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}B_{r}\big)=\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}\cdot C r\big)=\frac{\partial}{\partial r}\big(C r^{3}\big)=3C r^{2}.
Dividindo por r^{2}
\nabla\cdot\vec{B}_{\mathrm{I}}=\frac{1}{r^{2}}\cdot 3C r^{2}=3C.
Como \nabla\cdot\vec{B}_{\mathrm{I}}=3C e C é constante não nula em geral, a divergência é não nula. Portanto (I) viola a condição \oint_{\mathcal{S}}\vec{B}\cdot d\vec{A}=0.
Intuição rápida: um campo radial que cresce com r tem mais “linhas saindo” do que entrando — comportamento de uma “fonte” (como um monopolo) — logo fluxo não nulo.

Passo 4

Campo (II): \vec{B}_{\mathrm{II}}=\dfrac{C}{s}\,\hat{\varphi} em coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z).
Fórmula útil: a divergência em coordenadas cilíndricas para \vec{F}=F_{s}\,\hat s+F_{\varphi}\,\hat\varphi+F_{z}\,\hat z é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}(sF_{s})+\frac{1}{s}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}.
No nosso caso F_{s}=0, F_{\varphi}=C/s (depende só de s), F_{z}=0. Então
\nabla\cdot\vec{B}_{\mathrm{II}}=\frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}(s\cdot 0)+\frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial\varphi}\Big(\frac{C}{s}\Big)+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0+ \frac{1}{s}\cdot 0 +0=0.
Portanto a divergência é zero em todos os pontos onde o campo é bem definido (isto é, para s>0). Observação sobre a singularidade: o campo tem singularidade em s=0 (e a expressão não vale lá), mas isso não significa automaticamente monopolo magnético. Uma verificação de fluxo simples: considere um cilindro coaxial fechado; a contribuição do fluxo pelas paredes laterais e tampas é nula porque \vec{B}_{\mathrm{II}} é puramente azimutal (ortogonal aos vetores normais dessas superfícies). Logo o fluxo total por um cilindro fechado é zero. De modo geral, embora haja singularidade no eixo, o campo azimutal \propto 1/s é análogo ao campo magnético de uma corrente filamentar e não gera fluxo líquido através de superfícies fechadas (não há “carga” magnética). Assim (II) NÃO viola a condição.

Passo 5

Campo (III): \vec{B}_{\mathrm{III}}=C x\,\hat{x} (cartesiano).
Fórmula útil: em coordenadas cartesianas,
\nabla\cdot\vec{B}=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}.
Aqui B_{x}=C x, B_{y}=0, B_{z}=0. Então
\nabla\cdot\vec{B}_{\mathrm{III}}=\frac{\partial}{\partial x}(C x)+0+0=C.
Como C é, em geral, não nulo, a divergência é C\neq 0. Logo (III) também viola a condição \oint_{\mathcal{S}}\vec{B}\cdot d\vec{A}=0.
Intuição: um campo que cresce linearmente na direção x cria mais linhas saindo de uma região do que entrando — novamente comportamento de fonte.

Passo 6

Resumo e conclusão geral:
  • (I) tem \nabla\cdot\vec{B}_{\mathrm{I}}=3C\neq 0 → viola.
  • (II) tem \nabla\cdot\vec{B}_{\mathrm{II}}=0 para s>0 e, apesar da singularidade no eixo, não produz fluxo líquido por superfícies fechadas → não viola.
  • (III) tem \nabla\cdot\vec{B}_{\mathrm{III}}=C\neq 0 → viola.
Portanto as configurações que violam nitidamente a condição são (I) e (III).

Resposta

(C) Somente a (I) e a (III).

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