1. [1,0 ponto(s)] Uma partícula de massa m e carga q>0 move-se, em t=0, com velocidade
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}=v_{0} \sin \theta \hat{\boldsymbol{x}}+v_{0} \cos \theta \hat{\boldsymbol{z}},
em uma região com campo magnético constante (estacionário e uniforme) \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=B \hat{\boldsymbol{z}}. Quais são o raio r da hélice descrita pela partícula e o seu período T ?
(a) r=\frac{m v_{0} \sin \theta}{q B}, \quad T=\frac{2 \pi m \sin \theta}{q B}.
(b) r=\frac{m v_{0} \cos \theta}{q B}, \quad T=\frac{2 \pi m \cos \theta}{q B}.
(c) r=\frac{m v_{0}}{a B}, T=\frac{2 \pi m}{a B}.

Passo 1

O enunciado dá estas informações (tudo tirado do enunciado):
  • Massa da partícula: m.
  • Carga da partícula: q>0.
  • Velocidade inicial:
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}=v_{0}\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{x}}+v_{0}\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{z}}.
  • Campo magnético uniforme e constante:
\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=B\,\hat{\boldsymbol{z}}.
O que é pedido:
  • O raio r da hélice descrita pela partícula.
  • O período T do movimento helicoidal.

Passo 2

Primeiro conceito importante (aulas básicas): a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela força de Lorentz magnética
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=q\,\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
Explicando cada símbolo:
  • q é a carga (aqui positiva).
  • \overrightarrow{\boldsymbol{v}} é a velocidade instantânea da partícula.
  • \overrightarrow{\boldsymbol{B}} é o campo magnético.
  • O produto vetorial \times produz um vetor perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{v}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
Agora calculemos \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}. A velocidade tem componentes v_x=v_0\sin\theta, v_y=0, v_z=v_0\cos\theta. Então
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} =(v_0\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{x}}+v_0\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{z}})\times(B\,\hat{\boldsymbol{z}}).
O termo com \hat{\boldsymbol{z}}\times\hat{\boldsymbol{z}} é zero, sobra apenas o cruzamento \hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{z}}. Usando as regras de produto vetorial tem-se \hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{z}}=-\hat{\boldsymbol{y}}. Portanto
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} =-v_0\sin\theta\,B\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Multiplicando por q,
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}= -q\,v_0\sin\theta\,B\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Interpretação física: só a componente perpendicular ao campo ( v_0\sin\theta, na direção x) gera força magnética; a componente paralela ao campo ( v_0\cos\theta, na direção z) não sofre força magnética e permanece constante. Assim o movimento separa-se em:
  • movimento paralelo a \hat{\boldsymbol{z}} com velocidade constante v_{\parallel}=v_0\cos\theta;
  • movimento perpendicular ao campo (no plano x\!-\!y) que é circular por causa da força magnética perpendicular à velocidade.

Passo 3

Agora a parte de calcular o raio da circunferência (raio da hélice): para o movimento circular no plano perpendicular ao campo a força magnética age como força centrípeta. A magnitude da força magnética é
F_{\text{mag}}=q\,v_{\perp}\,B,
onde v_{\perp} é a componente da velocidade perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}. Aqui
v_{\perp}=v_0\sin\theta.
A força centrípeta necessária para manter movimento circular de raio r e velocidade v_{\perp} é
F_{\text{centr}}=\frac{m v_{\perp}^2}{r}.
Igualando as magnitudes (porque a força magnética fornece a centrípeta):
q\,v_{\perp}\,B=\frac{m v_{\perp}^2}{r}.
Como v_{\perp}\neq0 (se \sin\theta\neq0) podemos dividir por v_{\perp} e obter
r=\frac{m v_{\perp}}{q B}.
Substituindo v_{\perp}=v_0\sin\theta,
\boxed{\,r=\frac{m v_{0}\sin\theta}{q B}\,}.
Comentários didáticos: essa fórmula é padrão em eletromagnetismo — o raio da trajetória circular de uma carga num campo magnético aumenta com a massa e velocidade perpendicular, e diminui com a carga e intensidade do campo.

Passo 4

Agora o período T do movimento circular (o tempo que a partícula leva para completar uma volta na projecção perpendicular). A frequência angular \omega do movimento circular relaciona-se com r e v_{\perp} por
v_{\perp}=r\omega.
Usando r=\dfrac{m v_{\perp}}{q B} na expressão acima:
v_{\perp}=\left(\frac{m v_{\perp}}{q B}\right)\omega.
Se v_{\perp}\neq0 divide-se por v_{\perp} e obtém-se
\omega=\frac{q B}{m}.
Observação importante (muito usada em provas): \omega não depende da velocidade, depende só de q, B e m. O período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m}{q B}.
Portanto
\boxed{\,T=\frac{2\pi m}{q B}\,}.
Didática extra rápida: a independência do período em relação a v_{\perp} é conhecida como ciclotron: cargas giram com mesma frequência (para mesmo q/m e B), daí aparelhos como ciclotron explorarem isso.

Passo 5

Resumo e comparação com as alternativas fornecidas:
  • O raio correto é r=\dfrac{m v_{0}\sin\theta}{q B}.
  • O período correto é T=\dfrac{2\pi m}{q B}.
    Verificando as alternativas:
  • (a) dá o raio correto, mas o T em (a) está multiplicado por \sin\theta — isso está incorreto.
  • (b) usa \cos\theta no raio — incorreto.
  • (c) usa uma constante a não definida — inválida.
    Portanto nenhuma das alternativas (a), (b) ou (c) está completamente correta.

Resposta

r=\dfrac{m v_{0}\sin\theta}{q B}
T=\dfrac{2\pi m}{q B}

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