- [1,0 ponto(s)] Uma partícula de massa
e carga
move-se, em
, com velocidade
em uma região com campo magnético constante (estacionário e uniforme)
. Quais são o raio
da hélice descrita pela partícula e o seu período
?
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá estas informações (tudo tirado do enunciado):
- Massa da partícula:
. - Carga da partícula:
. - Velocidade inicial:
- Campo magnético uniforme e constante:
O que é pedido:
- O raio
da hélice descrita pela partícula. - O período
do movimento helicoidal.
Passo 2
Primeiro conceito importante (aulas básicas): a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela força de Lorentz magnética
Explicando cada símbolo:
-
é a carga (aqui positiva). -
é a velocidade instantânea da partícula. -
é o campo magnético. - O produto vetorial
produz um vetor perpendicular a e .
Agora calculemos
. A velocidade tem componentes
,
,
. Então
O termo com
é zero, sobra apenas o cruzamento
. Usando as regras de produto vetorial tem-se
. Portanto
Multiplicando por
,
Interpretação física: só a componente perpendicular ao campo (
, na direção
) gera força magnética; a componente paralela ao campo (
, na direção
) não sofre força magnética e permanece constante. Assim o movimento separa-se em:
- movimento paralelo a
com velocidade constante ; - movimento perpendicular ao campo (no plano
) que é circular por causa da força magnética perpendicular à velocidade.
Passo 3
Agora a parte de calcular o raio da circunferência (raio da hélice): para o movimento circular no plano perpendicular ao campo a força magnética age como força centrípeta. A magnitude da força magnética é
onde
é a componente da velocidade perpendicular a
. Aqui
A força centrípeta necessária para manter movimento circular de raio
e velocidade
é
Igualando as magnitudes (porque a força magnética fornece a centrípeta):
Como
(se
) podemos dividir por
e obter
Substituindo
,
Comentários didáticos: essa fórmula é padrão em eletromagnetismo — o raio da trajetória circular de uma carga num campo magnético aumenta com a massa e velocidade perpendicular, e diminui com a carga e intensidade do campo.
Passo 4
Agora o período
do movimento circular (o tempo que a partícula leva para completar uma volta na projecção perpendicular). A frequência angular
do movimento circular relaciona-se com
e
por
Usando
na expressão acima:
Se
divide-se por
e obtém-se
Observação importante (muito usada em provas):
não depende da velocidade, depende só de
,
e
. O período é
Portanto
Didática extra rápida: a independência do período em relação a
é conhecida como ciclotron: cargas giram com mesma frequência (para mesmo
e
), daí aparelhos como ciclotron explorarem isso.
Passo 5
Resumo e comparação com as alternativas fornecidas:
- O raio correto é
. - O período correto é
.
Verificando as alternativas: - (a) dá o raio correto, mas o
em (a) está multiplicado por — isso está incorreto. - (b) usa
no raio — incorreto. - (c) usa uma constante
não definida — inválida.
Portanto nenhuma das alternativas (a), (b) ou (c) está completamente correta.