[2,5 pontos] Um analista financeiro está investigando a variação do preço de uma criptomoeda altamente volátil. Ele notou que o comportamento de preço é aproximadamente periódico e decidiu modelá-lo utilizando a série exponencial de Fourier. Após processar os dados históricos, o analista obteve os seguintes coeficientes de Fourier D_{k} para o preço p(t) da criptomoeda, onde t está em horas: D_{0}=100 ; D_{1}=5 e^{j \pi / 4} ; D_{-1}=5 e^{-j \pi / 4} ; D_{3}=j ; D_{-3}=-j; e todos os outros coeficientes são nulos. O analista também sabe que a frequência da primeira harmônica (das senoides complexas associadas a D_{1} e D_{-1} ) corresponde a um ciclo de 12 horas, refletindo uma oscilação diária influenciada por movimentos do mercado asiático. Pede-se: (a) o período fundamental do sinal p(t) em horas; (b) descreva o sinal p(t) utilizando apenas sinais reais; (c) qual o significado econômico de D_{0} ? (d) Assumindo-se uma segunda criptomoeda com os mesmos coeficientes da anterior, porém com D_{3}=D_{-3}=0, e que um determinado valor foi comprado no instante t=0, qual o melhor momento para a venda, considerando o menor intervalo de tempo? Apresente todos os passos de resolução e justifique todas as respostas.

Passo 1

Aqui está o que o enunciado nos dá e o que pede, ponto a ponto (peguei todos os coeficientes do enunciado):
  • Coeficientes da série exponencial de Fourier para o preço p(t):
    • D_{0}=100.
    • D_{1}=5 e^{j \pi/4}.
    • D_{-1}=5 e^{-j \pi/4}.
    • D_{3}=j.
    • D_{-3}=-j.
    • Todos os outros D_k são nulos.
  • Informação adicional: a “primeira harmônica” (os termos associados a D_{1} e D_{-1}) corresponde a um ciclo de 12 horas.
    As perguntas pedidas:
    (a) qual o período fundamental do sinal p(t) em horas;
    (b) expressar p(t) usando apenas sinais reais (ou seja, escrever a soma de cossenos/senos reais e constantes);
    (c) qual o significado econômico de D_{0};
    (d) supondo uma segunda criptomoeda idêntica exceto D_{3}=D_{-3}=0, se foi comprado um valor em t=0, qual o melhor momento para vender considerando o menor intervalo de tempo (justificar).

Passo 2

Determinar o período fundamental geral e a frequência angular fundamental.
  • A série exponencial de Fourier tem a forma
p(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} D_{k} e^{j k \omega_{0} t},
onde \omega_{0} é a frequência angular fundamental e o período fundamental é T_{0}=2\pi/\omega_{0}.
  • O enunciado diz que a primeira harmônica (o termo com k=1) corresponde a um ciclo de 12 horas. Isso significa que a função e^{j\omega_{0} t} tem período 12 horas, ou seja T_{0}=12 horas.
  • Logo,
T_{0}=12\\ \text{horas}, \qquad \omega_{0}=\frac{2\pi}{T_{0}}=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\\ \text{rad/h}.

Passo 3

Converter os pares k=\pm1 (os termos complexos conjugados) em um sinal real em termos de cosseno com amplitude e fase.
  • Considere apenas os dois termos k=1 e k=-1:
D_{1} e^{j\omega_{0} t}+D_{-1} e^{-j\omega_{0} t}.
  • Para sinais reais com D_{-1}=\overline{D_{1}} vale a identidade
D_{1} e^{j\omega_{0} t}+D_{-1} e^{-j\omega_{0} t}=2\Re\{D_{1} e^{j\omega_{0} t}\}.
  • Como D_{1}=5 e^{j\pi/4}, temos
2\Re\{D_{1} e^{j\omega_{0} t}\}=2\Re\{5 e^{j(\omega_{0} t+\pi/4)}\}=2\cdot 5\cos(\omega_{0} t+\tfrac{\pi}{4})=10\cos\!\bigl(\omega_{0} t+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
  • Intuição: 5 é a magnitude complexa de D_{1} (me dá a meia-amplitude daquele modo) e o fator 2 aparece porque o par k=\pm1 soma as partes conjugadas para produzir um sinal real com amplitude 2|D_{1}|.

Passo 4

Converter os pares k=\pm3 em sinais reais e simplificar.
  • Escrevemos o par k=3 e k=-3:
D_{3} e^{j3\omega_{0} t}+D_{-3} e^{-j3\omega_{0} t}.
  • Substituindo D_{3}=j e D_{-3}=-j,
j e^{j3\omega_{0} t}+(-j) e^{-j3\omega_{0} t}=j\bigl(e^{j3\omega_{0} t}-e^{-j3\omega_{0} t}\bigr).
  • Usando e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta, obtemos
j\bigl(e^{j3\omega_{0} t}-e^{-j3\omega_{0} t}\bigr)=j\cdot 2j\sin(3\omega_{0} t)=2 j^{2}\sin(3\omega_{0} t)=-2\sin(3\omega_{0} t).
  • Podemos também escrever esse termo como um cosseno com fase: usando \cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\sin\theta, temos
-2\sin(3\omega_{0} t)=2\cos\!\bigl(3\omega_{0} t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Montar o sinal p(t) real completo somando todos os termos e substituir \omega_{0}.
  • Somando D_{0} (o termo DC), o par k=\pm1 e o par k=\pm3, obtemos
p(t)=D_{0}+10\cos\!\bigl(\omega_{0} t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)-2\sin(3\omega_{0} t).
  • Substituindo \omega_{0}=\tfrac{\pi}{6} e reescrevendo o termo em k=3 como cosseno com fase:
p(t)=100+10\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)+2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
  • Explicação dos componentes (bem didática e intuitiva):
    • O termo 100 é a componente média (nível base) do preço; é o centro em torno do qual as oscilações ocorrem.
    • O termo 10\cos(\tfrac{\pi}{6}t+\tfrac{\pi}{4}) é a oscilação de baixa frequência (período 12 h) com amplitude 10 e fase \tfrac{\pi}{4}.
    • O termo 2\cos(\tfrac{\pi}{2}t+\tfrac{\pi}{2}) vem do harmônico k=3 (frequência três vezes a fundamental, período T_0/3=4 h) e tem amplitude 2.

Passo 6

Significado econômico de D_{0} (resposta didática).
  • Pela definição da série de Fourier,
D_{0}=\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}} p(t)\,dt,
ou seja, D_{0} é a média (valor médio) do preço ao longo de um período fundamental. Economicamente:
  • D_{0}=100 representa o preço médio ao longo de um ciclo de 12 horas — é o nível base em torno do qual as flutuações periódicas ocorrem.
  • Interpretação prática: é um indicador de tendência média no curto prazo (numa janela de T_{0}), útil para comparar oscilações acima/abaixo do nível médio; não é necessariamente uma “previsão” de preço futuro fora de comportamento periódico, mas diz onde o preço tende a ficar em média durante cada ciclo de 12 h.

Passo 7

Parte (d): segunda criptomoeda com D_{3}=D_{-3}=0. Encontrar o menor tempo positivo após t=0 que é o melhor momento para vender (ou seja, o primeiro máximo subsequente).
  • Para essa segunda moeda os termos não-nulos são apenas D_{0}=100 e D_{\pm1}. Assim
p_{2}(t)=100+10\cos\!\bigl(\omega_{0} t+\tfrac{\pi}{4}\bigr), \qquad \omega_{0}=\tfrac{\pi}{6}.
  • O preço atinge um máximo quando o cosseno é +1, isto é quando
\omega_{0} t+\tfrac{\pi}{4}=2\pi n,
com n inteiro. Resolvendo para t,
t=\frac{2\pi n-\tfrac{\pi}{4}}{\omega_{0}}.
  • Queremos o menor t>0. Para n=0 obtemos t<0. Para n=1 obtemos o primeiro t>0:
t=\frac{2\pi-\tfrac{\pi}{4}}{\omega_{0}}=\frac{\tfrac{7\pi}{4}}{\tfrac{\pi}{6}}=\frac{7\pi}{4}\cdot\frac{6}{\pi}=\frac{42}{4}=10{,}5\\ \text{horas}.
  • Verificação rápida e intuição: em t=0 o argumento do cosseno é \tfrac{\pi}{4} (valor inicial p_{2}(0)=100+10\cos(\tfrac{\pi}{4})\approx 107{,}07). A função está decrescendo nesse instante (derivada negativa), então o próximo máximo só aparece após passar por um mínimo e então atingir o máximo seguinte; esse primeiro máximo positivo ocorre em 10{,}5 horas após a compra.

Resposta

(a) 12\\ \text{horas}
(b) p(t)=100+10\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)+2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)
(c) D_{0}=100 é o valor médio (componente DC) do preço ao longo de um período fundamental de 12 horas — ou seja, o nível médio em torno do qual ocorrem as oscilações periódicas.
(d) O menor tempo positivo para vender (primeiro máximo após t=0) é t=10{,}5\\ \text{horas}.

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