Exercício 2.20 Projete um filtro rejeita-faixa RLC paralelo que apresente uma frequência central de 10 kHz e uma largura de banda de 1 kHz , utilizando um capacitor de 10 nF . Determine os valores de R e L.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (apenas listando o que foi informado e o que se quer):
  • Frequência central pedida: f_0 = 10\\ \text{kHz}.
  • Largura de banda pedida: BW = 1\\ \text{kHz}.
  • Capacitância fornecida: C = 10\\ \text{nF}.
  • O que se pede: encontrar os valores de R e L para um circuito RLC paralelo que funcione como filtro rejeita-faixa com as especificações acima.

Passo 2

Intuição e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A frequência central de ressonância de um circuito RLC (tanto série quanto paralelo) satisfaz
f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}},
onde f_0 é a frequência de ressonância em hertz, L é a indutância em henry e C é a capacitância em farad. Essa fórmula vem de igualar as reatâncias indutiva e capacitiva em módulo.
  • A largura de banda e o fator de mérito Q estão relacionados por
BW=\dfrac{f_0}{Q},
onde BW é a largura de banda (em hertz) do pico/entalhe e Q é o fator de qualidade (adimensional). Essa relação é válida para um pico de ressonância bem definido.
  • Para um circuito RLC paralelo ideal (resistência em paralelo com L e C) a expressão do fator de mérito é
Q = R\sqrt{\dfrac{C}{L}},
onde R é a resistência em ohms. Essa fórmula pode ser entendida como a razão entre energia armazenada e energia dissipada por ciclo; matematicamente aparece ao analisar a admitância próxima da ressonância. Aqui Q cresce se R aumenta (menos perdas) ou se \sqrt{C/L} aumenta.
Resumo: com f_0 e C podemos achar L pela primeira fórmula; com BW e f_0 achamos Q; com Q e L,C resolvemos para R.

Passo 3

Calcular L a partir de f_0 e C.
Pegamos a fórmula da ressonância e isolamos L:
f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{L C} = \dfrac{1}{2\pi f_0} \quad\Longrightarrow\quad L = \dfrac{1}{(2\pi f_0)^2\,C}.
Agora substituímos os valores fornecidos (notando que C=10\\ \text{nF}=10\times10^{-9}\\ \text{F} e f_0=10\\ \text{kHz}=10\times10^{3}\\ \text{Hz}):
L = \dfrac{1}{(2\pi\cdot 10\times10^{3})^{2}\cdot (10\times10^{-9})}.
Fazendo a simplificação numérica com cuidado (mostrando o passo que ajuda na prova): primeiro veja que
(2\pi\cdot 10\times10^{3})^{2} = 4\pi^{2}\cdot(10^{4})^{2} = 4\pi^{2}\cdot 10^{8},
e multiplicando por C=10\times10^{-9}=10^{-8} obtemos
(2\pi f_0)^{2} C = 4\pi^{2}\cdot 10^{8}\cdot 10^{-8} = 4\pi^{2}.
Portanto
L = \dfrac{1}{4\pi^{2}}.
Numericamente,
L \approx \dfrac{1}{4\cdot (3{,}14159265)^{2}} \approx 0{,}0253303\\ \text{H} = 25{,}33\\ \text{mH}.
Observação prática para prova: é interessante perceber esse tipo de simplificação numérica — aqui os potências de 10 se cancelaram — o que reduz erros de cálculo.

Passo 4

Calcular Q a partir de f_0 e BW.
Pela definição
Q=\dfrac{f_0}{BW}.
Substituindo f_0=10\\ \text{kHz} e BW=1\\ \text{kHz}:
Q=\dfrac{10\\ \text{kHz}}{1\\ \text{kHz}}=10.
Explicação didática: Q indica “quão fino” é o entalhe/pico; Q=10 significa que a largura de banda é um décimo da frequência central.

Passo 5

Usar a relação Q = R\sqrt{C/L} para determinar R.
Isolando R:
R = \dfrac{Q}{\sqrt{C/L}} = Q\sqrt{\dfrac{L}{C}}.
Já temos Q=10, L calculado e C dado. Substituindo numericamente:
Calcule primeiro o termo \sqrt{L/C}. Com L\approx 0{,}0253303\\ \text{H} e C=10\times10^{-9}\\ \text{F}=1\times10^{-8}\\ \text{F},
\sqrt{\dfrac{L}{C}} = \sqrt{\dfrac{0{,}0253303}{1\times10^{-8}}} = \sqrt{2{,}53303\times10^{6}} \approx 1591{,}55.
Então
R = Q\sqrt{\dfrac{L}{C}} \approx 10\cdot 1591{,}55 \approx 15915{,}5\\ \Omega.
Uma forma alternativa direta (útil em prova) é usar R=\dfrac{Q}{\sqrt{C/L}}. Se calcular \sqrt{C/L} nota-se que, pela simplificação numérica anterior, \sqrt{C/L}\approx 6{,}283185\times10^{-4}, então R=10/6{,}283185\times10^{-4}\approx 15915{,}5\\ \Omega. Ambas chegam ao mesmo resultado.

Passo 6

Checagem de unidades e arredondamento para resposta prática:
  • Unidade de L ficou em henry; convém apresentar em milihenry para leitura prática: 25{,}33\\ \text{mH}.
  • Unidade de R em ohm; convém apresentar também em quilohms: 15{,}915\\ \text{k}\Omega, normalmente arredondar para 15{,}9\\ \text{k}\Omega ou 16{,}0\\ \text{k}\Omega dependendo da precisão de componentes disponíveis.
Dica de prova: ao justificar resposta, explique rapidamente os passos: (i) achar L por ressonância, (ii) achar Q=f_0/BW, (iii) achar R por Q=R\sqrt{C/L}. Sempre indicar unidades e arredondamento.

Resposta

R \approx 15{,}915\\ \text{k}\Omega
L \approx 25{,}33\\ \text{mH}

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