Exercício 2.20 Projete um filtro rejeita-faixa RLC paralelo que apresente uma frequência central de 10 kHz e uma largura de banda de 1 kHz , utilizando um capacitor de 10 nF . Determine os valores de
e
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (apenas listando o que foi informado e o que se quer):
- Frequência central pedida:
. - Largura de banda pedida:
. - Capacitância fornecida:
. - O que se pede: encontrar os valores de
e para um circuito RLC paralelo que funcione como filtro rejeita-faixa com as especificações acima.
Passo 2
Intuição e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A frequência central de ressonância de um circuito RLC (tanto série quanto paralelo) satisfaz
onde
é a frequência de ressonância em hertz,
é a indutância em henry e
é a capacitância em farad. Essa fórmula vem de igualar as reatâncias indutiva e capacitiva em módulo.
- A largura de banda e o fator de mérito
estão relacionados por
onde
é a largura de banda (em hertz) do pico/entalhe e
é o fator de qualidade (adimensional). Essa relação é válida para um pico de ressonância bem definido.
- Para um circuito RLC paralelo ideal (resistência em paralelo com L e C) a expressão do fator de mérito é
onde
é a resistência em ohms. Essa fórmula pode ser entendida como a razão entre energia armazenada e energia dissipada por ciclo; matematicamente aparece ao analisar a admitância próxima da ressonância. Aqui
cresce se
aumenta (menos perdas) ou se
aumenta.
Resumo: com
e
podemos achar
pela primeira fórmula; com
e
achamos
; com
e
resolvemos para
.
Passo 3
Calcular
a partir de
e
.
Pegamos a fórmula da ressonância e isolamos
:
Agora substituímos os valores fornecidos (notando que
e
):
Fazendo a simplificação numérica com cuidado (mostrando o passo que ajuda na prova): primeiro veja que
e multiplicando por
obtemos
Portanto
Numericamente,
Observação prática para prova: é interessante perceber esse tipo de simplificação numérica — aqui os potências de 10 se cancelaram — o que reduz erros de cálculo.
Passo 4
Calcular
a partir de
e
.
Pela definição
Substituindo
e
:
Explicação didática:
indica “quão fino” é o entalhe/pico;
significa que a largura de banda é um décimo da frequência central.
Passo 5
Usar a relação
para determinar
.
Isolando
:
Já temos
,
calculado e
dado. Substituindo numericamente:
Calcule primeiro o termo
. Com
e
,
Então
Uma forma alternativa direta (útil em prova) é usar
. Se calcular
nota-se que, pela simplificação numérica anterior,
, então
. Ambas chegam ao mesmo resultado.
Passo 6
Checagem de unidades e arredondamento para resposta prática:
- Unidade de
ficou em henry; convém apresentar em milihenry para leitura prática: . - Unidade de
em ohm; convém apresentar também em quilohms: , normalmente arredondar para ou dependendo da precisão de componentes disponíveis.
Dica de prova: ao justificar resposta, explique rapidamente os passos: (i) achar
por ressonância, (ii) achar
, (iii) achar
por
. Sempre indicar unidades e arredondamento.