1. [2,5 pontos] Considere o sinal x_{0}(t) tal que x_{0}(t)=e^{-t} para 0<t<1 e x_{0}(t)= 0 para outros t, e os sinais x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) e x_{4}(t) ilustrados a seguir. Pede-se: (a) calcule a transformada de Fourier, X_{0}(j \omega), de x_{o}(t); (b) determine X_{1}(j \omega), X_{2}(j \omega), X_{3}(j \omega) e X_{4}(j \omega) em função de X_{0}(j \omega); (c) classifique cada transformada em conjugada simétrica, conjugada antissimétrica, real ou imaginária. Apresente todos os passos de resolucão e justifique todas as respostas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Usei os rótulos das figuras para identificar as relações entre os sinais (peguei esses dados da imagem enviada).
Dados do enunciado e da figura:
  • O sinal de referência é x_{0}(t)\) com \[x_{0}(t)=\begin{cases} e^{-t}, & 0<t<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
  • Da figura (peguei da imagem):
    • x_{1}(t)\] é formado pelo trecho \(x_{0}(t) em 0<t<1 à direita e por x_{0}(-t) em -1<t<0. Ou seja, x_{1}(t)=x_{0}(t)+x_{0}(-t).
    • x_{2}(t) tem o trecho x_{0}(t) em 0<t<1 à direita e -x_{0}(-t) em -1<t<0. Ou seja, x_{2}(t)=x_{0}(t)-x_{0}(-t).
    • x_{3}(t) é a soma de duas cópias deslocadas: x_{3}(t)=x_{0}(t)+x_{0}(t+1). (Aqui x_{0}(t+1) tem suporte em -1<t<0.)
    • x_{4}(t) é o produto t\,x_{0}(t) (ou seja, multiplicação por t dentro do suporte 0<t<1).
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a transformada de Fourier X_{0}(j\omega) de x_{0}(t).
(b) Expressar X_{1}(j\omega),\,X_{2}(j\omega),\,X_{3}(j\omega),\,X_{4}(j\omega) em função de X_{0}(j\omega).
(c) Classificar cada transformada como: conjugada simétrica (Hermitiana), conjugada antissimétrica (anti-Hermitiana), real ou imaginária.]

Passo 2

Definição e propriedades que vou usar (explicadas de forma didática):
  • A transformada de Fourier que usaremos é a usual
X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde j=\sqrt{-1} e \omega é a frequência angular. Isso transforma um sinal no tempo x(t) numa função complexa de \omega.
  • Propriedades úteis (todas serão usadas e eu explico cada uma):
    1. Linearidade: a transformada de soma é soma das transformadas e constantes saem por fator: \mathcal{F}\{a x(t)+b y(t)\}=a X(j\omega)+b Y(j\omega).
    2. Inversão no tempo (time reversal): se y(t)=x(-t) então Y(j\omega)=X(-j\omega).Intuição: inverter o tempo corresponde a inverter o sinal de frequência.
    3. Deslocamento no tempo (time shift): se y(t)=x(t-t_{0}) então Y(j\omega)=e^{-j\omega t_{0}}X(j\omega).Intuição: deslocar no tempo gera um fator complexo exponencial na frequência.
    4. Multiplicação por t: se y(t)=t\,x(t) então Y(j\omega)=j\,\frac{d}{d\omega}X(j\omega).Intuição: multiplicar por t no tempo equivale a diferenciar na frequência (com fator j).
    5. Para sinais reais x(t) vale a simetria de Hermite: X(-j\omega)=X^{*}(j\omega),onde ^* indica conjugado complexo. Essa propriedade nos ajuda a classificar se uma transformada é puramente real, puramente imaginária, etc.

Passo 3

Cálculo de X_{0}(j\omega) (parte (a)).
  • Aplicamos a definição da transformada ao sinal com suporte em (0,1):
X_{0}(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x_{0}(t)\,e^{-j\omega t}\,dt =\int_{0}^{1} e^{-t}\,e^{-j\omega t}\,dt,
pois x_{0}(t)=e^{-t} apenas em 0<t<1.
  • Escrevemos o integrando como exponencial única:
e^{-t}e^{-j\omega t}=e^{-(1+j\omega)t}.
  • Integramos uma exponencial simples:
\int_{0}^{1} e^{-(1+j\omega)t}\,dt =\left[\frac{e^{-(1+j\omega)t}}{-(1+j\omega)}\right]_{0}^{1} =\frac{1-e^{-(1+j\omega)}}{1+j\omega}.
  • Podemos escrever exponencial complexa separando a parte real:
e^{-(1+j\omega)}=e^{-1}e^{-j\omega},
portanto uma forma conveniente é
X_{0}(j\omega)=\frac{1-e^{-1}e^{-j\omega}}{1+j\omega}.

Passo 4

Determinar X_{1}(j\omega) (parte (b), primeira transformada).
  • Pelo item do Passo 1, x_{1}(t)=x_{0}(t)+x_{0}(-t).
  • Usando linearidade e a propriedade de inversão no tempo:
X_{1}(j\omega)=X_{0}(j\omega)+\mathcal{F}\{x_{0}(-t)\} = X_{0}(j\omega)+X_{0}(-j\omega).
  • Observação útil (para classificação posterior): para x_{0}(t) real vale X_{0}(-j\omega)=X_{0}^{*}(j\omega). Assim
X_{1}(j\omega)=X_{0}(j\omega)+X_{0}^{*}(j\omega)=2\operatorname{Re}\{X_{0}(j\omega)\},
ou seja X_{1}(j\omega) é uma função real (toda a frequência tem valor real).

Passo 5

Determinar X_{2}(j\omega).
  • Da figura, x_{2}(t)=x_{0}(t)-x_{0}(-t).
  • Pela linearidade e inversão no tempo:
X_{2}(j\omega)=X_{0}(j\omega)-X_{0}(-j\omega).
  • Usando X_{0}(-j\omega)=X_{0}^{*}(j\omega) (porque x_{0}(t) é real):
X_{2}(j\omega)=X_{0}(j\omega)-X_{0}^{*}(j\omega)=2j\,\operatorname{Im}\{X_{0}(j\omega)\}.
  • Observação de simetria: isso implica X_{2}(-j\omega)=-X_{2}^{*}(j\omega), ou seja X_{2} é conjugada antissimétrica (anti-Hermitiana). Também é puramente imaginária (cada frequência retorna um número imaginário puro).

Passo 6

Determinar X_{3}(j\omega).
  • Pelo desenho, x_{3}(t)=x_{0}(t)+x_{0}(t+1). Note que x_{0}(t+1)=x_{0}(t-(-1)) é um deslocamento por -1.
  • Pela propriedade de deslocamento no tempo:
\mathcal{F}\{x_{0}(t+1)\}=e^{j\omega}X_{0}(j\omega).
  • Então, por linearidade,
X_{3}(j\omega)=X_{0}(j\omega)+e^{j\omega}X_{0}(j\omega)=(1+e^{j\omega})\,X_{0}(j\omega).
  • Para a simetria: note que 1+e^{j\omega} satisfaz (1+e^{j\omega})^{*}=1+e^{-j\omega}=1+e^{j(-\omega)}, i.e. é conjugada simétrica. Como produto de duas funções conjugadas simétricas é também conjugada simétrica, conclui-se que X_{3} é conjugada simétrica.

Passo 7

Determinar X_{4}(j\omega).
  • Por definição x_{4}(t)=t\,x_{0}(t).
  • Usando a propriedade de multiplicação por t:
X_{4}(j\omega)=j\,\frac{d}{d\omega}X_{0}(j\omega).
  • Não é necessário calcular explicitamente a derivada para expressar X_{4} em função de X_{0}; a forma acima já é a relação pedida.
  • Sobre simetria: sabendo que X_{0} é conjugada simétrica, pode-se verificar que X_{4} também é conjugada simétrica. (Raciocínio: escrevendo X_{4}(j\omega)=j X_{0}'(j\omega) e usando X_{0}(-j\omega)=X_{0}^{*}(j\omega) leva a X_{4}(-j\omega)=X_{4}^{*}(j\omega).)

Passo 8

Classificações finais (parte (c)) — justificadas resumidamente:
  • X_{0}(j\omega): como x_{0}(t) é real, X_{0} satisfaz X_{0}(-j\omega)=X_{0}^{*}(j\omega). Logo classifica-se como conjugada simétrica (Hermitiana).
  • X_{1}(j\omega)=X_{0}+X_{0}(-j\omega)=2\operatorname{Re}\{X_{0}\}: é uma função puramente real. Classificação: real.
  • X_{2}(j\omega)=X_{0}-X_{0}(-j\omega)=2j\,\operatorname{Im}\{X_{0}\}: é puramente imaginária e satisfaz X_{2}(-j\omega)=-X_{2}^{*}(j\omega). Classificação: conjugada antissimétrica (também podemos dizer “imaginária pura”, mas a classificação por simetria pedida é “conjugada antissimétrica”).
  • X_{3}(j\omega)=(1+e^{j\omega})X_{0}(j\omega): produto de duas funções conjugada-simétricas → é conjugada simétrica.
  • X_{4}(j\omega)=j\,\dfrac{d}{d\omega}X_{0}(j\omega): conserva a propriedade de conjugada-simetria (ver raciocínio no Passo 7). Classificação: conjugada simétrica.

Resposta

(a) X_{0}(j\omega)=\frac{1-e^{-(1+j\omega)}}{1+j\omega}=\frac{1-e^{-1}e^{-j\omega}}{1+j\omega}.
(b)
X_{1}(j\omega)=X_{0}(j\omega)+X_{0}(-j\omega),
X_{2}(j\omega)=X_{0}(j\omega)-X_{0}(-j\omega),
X_{3}(j\omega)=(1+e^{j\omega})\,X_{0}(j\omega),
X_{4}(j\omega)=j\,\frac{d}{d\omega}X_{0}(j\omega).
(c)
X_{0}:\\ \text{conjugada simétrica (Hermitiana)}.é
X_{1}:\\ \text{real}.
X_{2}:\\ \text{conjugada antissimétrica (anti-Hermitiana)}.é
X_{3}:\\ \text{conjugada simétrica (Hermitiana)}.é
X_{4}:\\ \text{conjugada simétrica (Hermitiana)}.é

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