- [2,5 pontos] Considere o sinal
tal que
para
e
0 para outros
, e os sinais
e
ilustrados a seguir. Pede-se: (a) calcule a transformada de Fourier,
, de
; (b) determine
,
e
em função de
; (c) classifique cada transformada em conjugada simétrica, conjugada antissimétrica, real ou imaginária. Apresente todos os passos de resolucão e justifique todas as respostas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Usei os rótulos das figuras para identificar as relações entre os sinais (peguei esses dados da imagem enviada).
Dados do enunciado e da figura:
- O sinal de referência é
- Da figura (peguei da imagem):
-
em
à direita e por em . Ou seja, . -
tem o trecho em à direita e em . Ou seja, . -
é a soma de duas cópias deslocadas: . (Aqui tem suporte em .) -
é o produto (ou seja, multiplicação por dentro do suporte ).
-
em
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a transformada de Fourier de
.
(b) Expressar em função de
.
(c) Classificar cada transformada como: conjugada simétrica (Hermitiana), conjugada antissimétrica (anti-Hermitiana), real ou imaginária.]
(a) Calcular a transformada de Fourier
(b) Expressar
(c) Classificar cada transformada como: conjugada simétrica (Hermitiana), conjugada antissimétrica (anti-Hermitiana), real ou imaginária.]
Passo 2
Definição e propriedades que vou usar (explicadas de forma didática):
- A transformada de Fourier que usaremos é a usual
onde
e
é a frequência angular. Isso transforma um sinal no tempo
numa função complexa de
.
- Propriedades úteis (todas serão usadas e eu explico cada uma):
- Linearidade: a transformada de soma é soma das transformadas e constantes saem por fator:
- Inversão no tempo (time reversal): se
então Intuição: inverter o tempo corresponde a inverter o sinal de frequência. - Deslocamento no tempo (time shift): se
então Intuição: deslocar no tempo gera um fator complexo exponencial na frequência. - Multiplicação por
: se então Intuição: multiplicar por no tempo equivale a diferenciar na frequência (com fator ). - Para sinais reais
vale a simetria de Hermite: onde indica conjugado complexo. Essa propriedade nos ajuda a classificar se uma transformada é puramente real, puramente imaginária, etc.
- Linearidade: a transformada de soma é soma das transformadas e constantes saem por fator:
Passo 3
Cálculo de
(parte (a)).
- Aplicamos a definição da transformada ao sinal com suporte em
:
pois
apenas em
.
- Escrevemos o integrando como exponencial única:
- Integramos uma exponencial simples:
- Podemos escrever exponencial complexa separando a parte real:
portanto uma forma conveniente é
Passo 4
Determinar
(parte (b), primeira transformada).
- Pelo item do Passo 1,
. - Usando linearidade e a propriedade de inversão no tempo:
- Observação útil (para classificação posterior): para
real vale . Assim
ou seja
é uma função real (toda a frequência tem valor real).
Passo 5
Determinar
.
- Da figura,
. - Pela linearidade e inversão no tempo:
- Usando
(porque é real):
- Observação de simetria: isso implica
, ou seja é conjugada antissimétrica (anti-Hermitiana). Também é puramente imaginária (cada frequência retorna um número imaginário puro).
Passo 6
Determinar
.
- Pelo desenho,
. Note que é um deslocamento por . - Pela propriedade de deslocamento no tempo:
- Então, por linearidade,
- Para a simetria: note que
satisfaz , i.e. é conjugada simétrica. Como produto de duas funções conjugadas simétricas é também conjugada simétrica, conclui-se que é conjugada simétrica.
Passo 7
Determinar
.
- Por definição
. - Usando a propriedade de multiplicação por
:
- Não é necessário calcular explicitamente a derivada para expressar
em função de ; a forma acima já é a relação pedida. - Sobre simetria: sabendo que
é conjugada simétrica, pode-se verificar que também é conjugada simétrica. (Raciocínio: escrevendo e usando leva a .)
Passo 8
Classificações finais (parte (c)) — justificadas resumidamente:
-
: como é real, satisfaz . Logo classifica-se como conjugada simétrica (Hermitiana). -
: é uma função puramente real. Classificação: real. -
: é puramente imaginária e satisfaz . Classificação: conjugada antissimétrica (também podemos dizer “imaginária pura”, mas a classificação por simetria pedida é “conjugada antissimétrica”). -
: produto de duas funções conjugada-simétricas → é conjugada simétrica. -
: conserva a propriedade de conjugada-simetria (ver raciocínio no Passo 7). Classificação: conjugada simétrica.
Resposta
(a)
(b)
(c)