Exercício 1.2 Um gerador de função, tipo fonte de tensão, possui uma resistência interna de 5 \Omega. Ele foi usado para averiguar a resposta ao degrau de uma uma carga R L em série. Por meio de um osciloscópio foi possível saber que a tensão sobre o resistor da carga é v_{r, \text { carga }}(t)=\frac{3}{4}\left(1-e^{-100 t}\right) u(t). Encontre os valores de R_{\text {carga }} e L_{\text {carga }}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • Foi usada uma fonte com resistência interna R_s = 5\\ \Omega.
  • A carga é um circuito série R_{\text{carga}}L_{\text{carga}} (resistor em série com indutor).
  • A tensão medida sobre o resistor da carga é
v_{r,\text{carga}}(t)=\frac{3}{4}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)u(t).
  • O que se pede: encontrar R_{\text{carga}} e L_{\text{carga}}.
Observação útil extraída do enunciado: a forma \frac{3}{4}(1-e^{-100t})u(t) é típica da resposta a um degrau unitário; ou seja, o fator \tfrac{3}{4} é o valor em regime permanente (t→∞) da tensão no resistor, expressa em volts se a fonte for de 1\\ \text{V}. Vou usar isso explicitamente na resolução (se a amplitude do degrau fosse outra, os resultados escalar-se-iam proporcionalmente — mas o enunciado usa a notação de degrau u(t) sem indicar outro nível, portanto o caso unitário é o mais natural).

Passo 2

Modelagem do circuito e fórmula geral para resposta ao degrau:
  • Circuito: fonte de tensão em série com R_s, alimentando em série R_{\text{carga}} e L_{\text{carga}}. A corrente que percorre toda a série é i(t). A tensão sobre o resistor da carga é v_{r}(t)=R_{\text{carga}}\,i(t).
  • Para um degrau de amplitude V_g aplicado ao conjunto série R_s + R_{\text{carga}} e L_{\text{carga}}, a corrente de regime permanente (t→∞) vale
I_{\infty}=\frac{V_g}{R_s+R_{\text{carga}}}.
  • Portanto a tensão em regime permanente sobre o resistor da carga é
v_{r}(\infty)=R_{\text{carga}}\,I_{\infty}=V_g\cdot\frac{R_{\text{carga}}}{R_s+R_{\text{carga}}}.
  • A resposta transitória (para um circuito RL série) tem forma exponencial do tipo
i(t)=I_{\infty}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)u(t),
onde a constante de tempo é
\tau=\frac{L_{\text{carga}}}{R_s+R_{\text{carga}}}.
Logo
v_{r}(t)=R_{\text{carga}}\,I_{\infty}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)u(t) =V_g\cdot\frac{R_{\text{carga}}}{R_s+R_{\text{carga}}}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)u(t).

Passo 3

Usando a forma dada pelo enunciado para obter R_{\text{carga}}:
  • Comparando a expressão deduzida com a fornecida, o fator multiplicativo à frente de (1-e^{-t/\tau}) é V_g\cdot\dfrac{R_{\text{carga}}}{R_s+R_{\text{carga}}}.
  • O enunciado dá esse fator igual a \dfrac{3}{4}. Assumindo o degrau unitário V_g=1\\ \text{V} (justificado no Passo 1), temos
\frac{R_{\text{carga}}}{R_s+R_{\text{carga}}}=\frac{3}{4}.
  • Substituindo R_s=5\\ \Omega e resolvendo para R_{\text{carga}}:
\frac{R_{\text{carga}}}{5+R_{\text{carga}}}=\frac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad 4R_{\text{carga}}=3(5+R_{\text{carga}}).
  • Desenvolvendo:
4R_{\text{carga}}=15+3R_{\text{carga}} \quad\Rightarrow\quad R_{\text{carga}}=15\\ \Omega.

Passo 4

Usando o termo exponencial para obter L_{\text{carga}}:
  • A expressão dada tem o exponencial \mathrm{e}^{-100 t}. Comparando com \mathrm{e}^{-t/\tau} temos
\frac{1}{\tau}=100\quad\Rightarrow\quad \tau=\frac{1}{100}=0,01\\ \text{s}.
  • A constante de tempo do circuito RL em série é \tau=\dfrac{L_{\text{carga}}}{R_s+R_{\text{carga}}}. Substituindo \tau=0,01\\ \text{s}, R_s=5\\ \Omega e R_{\text{carga}}=15\\ \Omega:
0,01=\frac{L_{\text{carga}}}{5+15}=\frac{L_{\text{carga}}}{20}.
  • Portanto
L_{\text{carga}}=0,01\times 20=0,2\\ \mathrm{H}.

Passo 5

Checagem rápida das dimensões e interpretação física:
  • Em regime permanente a corrente é I_{\infty}=\dfrac{1}{5+15}=\dfrac{1}{20}=0,05\\ \text{A}. A tensão no resistor da carga é R_{\text{carga}}I_{\infty}=15\cdot0,05=0,75\\ \text{V}=\tfrac{3}{4}\\ \text{V}, compatível com a expressão dada.
  • A constante de tempo \tau=0,01\\ \text{s} com L=0,2\\ \mathrm{H} e resistência total 20\\ \Omega é consistente porque L/R=0,2/20=0,01\\ \text{s}.
  • Tudo coerente: R_{\text{carga}}=15\\ \Omega e L_{\text{carga}}=0,2\\ \mathrm{H}.

Resposta

R_{\text{carga}}=15\\ \Omega
L_{\text{carga}}=0,2\\ \mathrm{H}

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