1. [2,0 pontos] Um sinal x(t)=1+2 \cos (5 \pi t)+3 \operatorname{sen}(14 \pi t) é aplicado na entrada de um sistema linear e invariante no tempo, resultando na saída y(t). Determine: (a) a frequência fundamental de x(t); (b) os coeficientes da série exponencial de Fourier de x(t); (c) o sinal y(t), caso o sistema seja um filtro passa-faixa ideal ( H(\omega) ) com frequência central \left(\left(\omega_{2}+\omega_{1}\right) / 2\right) de 2 \pi \cdot 4 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e banda de passagem ( \omega_{2}-\omega_{1} ) também de 2 \pi \cdot 4 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Apresente todos os passos de resolução e justifique todas as respostas. Utilize as técnicas de Fourier.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele nos dá (peguei os valores do filtro da imagem fornecida).
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a frequência fundamental de x(t);
    (b) determinar os coeficientes da série exponencial de Fourier de x(t);
    (c) determinar o sinal de saída y(t) quando x(t) passa por um filtro passa-faixa ideal H(\omega) com frequência central \left(\omega_{2}+\omega_{1}\right)/2 igual a 2\pi\cdot 4\\ \text{rad/s} e banda de passagem \omega_{2}-\omega_{1} igual a 2\pi\cdot 4\\ \text{rad/s}.
  • O sinal de entrada é
    x(t)=1+2\cos\!\left(5\pi t\right)+3\operatorname{sen}\!\left(14\pi t\right).
  • Dados do filtro (peguei estes números da imagem):
    \omega_{\text{central}}=2\pi\cdot 4=8\pi\\ \text{rad/s}, \qquad \text{banda}=\omega_2-\omega_1=2\pi\cdot 4=8\pi\\ \text{rad/s}.
    A partir disso, calculamos
    \omega_1=\omega_{\text{central}}-\tfrac{\text{banda}}{2}=8\pi-4\pi=4\pi\\ \text{rad/s}, \qquad \omega_2=8\pi+4\pi=12\pi\\ \text{rad/s}.
    O filtro ideal tem ganho H(\omega)=1 para \omega com 4\pi\le|\omega|\le12\pi e H(\omega)=0 fora dessa banda (simétrico em relação a \omega=0).

Passo 2

Determinar se x(t) é periódico e achar sua frequência fundamental.
  • Conceito importante (explicação didática): um sinal contínuo x(t) composto por somas de cossenos e senos é periódico se todas as suas frequências angulares \omega_k forem múltiplos inteiros de uma mesma frequência angular básica \omega_0. Nesse caso \omega_0 é o máximo divisor comum (em sentido inteiro) das \omega_k. Se \omega_0 existir, o período é T_0=2\pi/\omega_0.
  • No nosso sinal temos componentes com as seguintes frequências angulares:
    • componente DC: \omega=0;
    • da parcela 2\cos(5\pi t): \omega=5\pi;
    • da parcela 3\operatorname{sen}(14\pi t): \omega=14\pi.
  • Observe que todos esses \omega são múltiplos de \pi: \{0,5\pi,14\pi\}=\pi\{0,5,14\}. Os inteiros 5 e 14 têm máximo divisor comum 1. Portanto o maior \omega_0 que divide todos é
    \omega_0=\pi\\ \text{rad/s}.
    Assim o sinal é periódico com
    T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\pi}=2\\ \text{s}, \qquad f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\pi}{2\pi}=\tfrac{1}{2}\\ \text{Hz}.

Passo 3

Definir e calcular os coeficientes da série exponencial de Fourier.
  • Fórmula (aula curta): para um sinal periódico de período T_0 com \omega_0=2\pi/T_0, a série exponencial é
    x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,e^{j k \omega_0 t},
    e os coeficientes são dados por
    c_k=\frac{1}{T_0}\int_{T_0} x(t)\,e^{-j k \omega_0 t}\,dt.
    Mas quando x(t) é soma de exponenciais simples (ou senos/cossenos), é muito mais prático decompor cada termo em exponenciais complexas e ler os coeficientes diretamente.
  • Decomposição das componentes:
    • Componente DC 1 corresponde a c_0=1 (pois é a média do sinal).
    • Para \;2\cos(5\pi t)\; usamos \cos\theta=\tfrac{1}{2}(e^{j\theta}+e^{-j\theta}). Como \omega_0=\pi, 2\cos(5\pi t)=2\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(e^{j5\pi t}+e^{-j5\pi t}\bigr)=e^{j5\omega_0 t}+e^{-j5\omega_0 t}.Logo os coeficientes associados são c_{5}=1,\qquad c_{-5}=1.
    • Para \;3\operatorname{sen}(14\pi t)\; usamos \operatorname{sen}\theta=\tfrac{1}{2j}(e^{j\theta}-e^{-j\theta}). Assim 3\operatorname{sen}(14\pi t)=\frac{3}{2j}\bigl(e^{j14\pi t}-e^{-j14\pi t}\bigr) =\frac{3}{2j}e^{j14\omega_0 t}-\frac{3}{2j}e^{-j14\omega_0 t}.Portanto os coeficientes são c_{14}=\frac{3}{2j},\qquad c_{-14}=-\frac{3}{2j}.Podemos escrever essas constantes também em forma com j: c_{14}=-j\frac{3}{2},\qquad c_{-14}=+j\frac{3}{2},pois \frac{1}{j}=-j.
  • Conclusão: todos os demais c_k são zero. Resumindo os coeficientes não nulos:
    c_0=1,\quad c_{\pm5}=1,\quad c_{14}=-j\frac{3}{2},\quad c_{-14}=+j\frac{3}{2},
    e c_k=0 para os outros k.

Passo 4

Determinar a saída y(t) do sistema LTI usando a representação em série de Fourier e a ação do filtro no domínio de frequência.
  • Conceito útil (aula curta): para um sistema linear invariante no tempo com resposta em frequência H(\omega), se a entrada tem coeficientes c_k na série exponencial com base \omega_0, a saída terá coeficientes
    d_k=H(k\omega_0)\,c_k,
    porque cada exponencial e^{j k \omega_0 t} é autônoma (é um modo do sistema) e é multiplicada por H(k\omega_0).
  • Aplicando ao nosso filtro (peguei \omega_1=4\pi e \omega_2=12\pi da imagem):
    • O filtro passa-faixa ideal satisfaz H(\omega)=1 se \omega_1\le|\omega|\le\omega_2 (ou seja, 4\pi\le|\omega|\le12\pi), e H(\omega)=0 caso contrário.
    • Avaliando H nos harmônicos relevantes:
      • Para k=0: k\omega_0=0. Como 0 não está na banda [4\pi,12\pi], temos H(0)=0. Logo o componente DC é rejeitado.
      • Para k=\pm5: k\omega_0=\pm5\pi. Como |5\pi|=5\pi e 4\pi\le5\pi\le12\pi, temos H(\pm5\omega_0)=1. Esses harmônicos passam sem atenuação.
      • Para k=\pm14: k\omega_0=\pm14\pi. Como |14\pi|=14\pi>12\pi, temos H(\pm14\omega_0)=0. Esses harmônicos são totalmente rejeitados.
  • Então os coeficientes de saída são
    d_0=0,\quad d_{\pm5}=1\cdot c_{\pm5}=1,\quad d_{\pm14}=0.
    Todos os outros d_k também são zero.
  • Reconstruindo y(t) a partir dos coeficientes não nulos ( d_{5}=1 e d_{-5}=1):
    y(t)=d_{5}e^{j5\omega_0 t}+d_{-5}e^{-j5\omega_0 t} =e^{j5\pi t}+e^{-j5\pi t}=2\cos\!\left(5\pi t\right).

Passo 5

Resumo final e comentários motivadores:
  • O procedimento prático para a prova: decomponha o sinal em exponenciais complexas (ou use identidades seno/cosseno), leia os coeficientes c_k, e depois multiplique cada coeficiente por H(k\omega_0) para obter d_k. Reconstrua y(t). Aqui o filtro passou apenas a componente em \pm5\pi e rejeitou DC e \pm14\pi.

Resposta

(a) \omega_0=\pi\\ \text{rad/s} (isto é, T_0=2\\ \text{s} e f_0=\tfrac{1}{2}\\ \text{Hz}).
(b) Coeficientes não nulos:
c_0=1,\qquad c_{5}=1,\qquad c_{-5}=1,\qquad c_{14}=-j\frac{3}{2},\qquad c_{-14}=+j\frac{3}{2},
e c_k=0 para os demais k.
(c) y(t)=2\cos\!\left(5\pi t\right).

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