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pontos] Um sinal
é aplicado na entrada de um sistema linear e invariante no tempo, resultando na saída
. Determine: (a) a frequência fundamental de
; (b) os coeficientes da série exponencial de Fourier de
; (c) o sinal
, caso o sistema seja um filtro passa-faixa ideal (
) com frequência central
de
e banda de passagem (
) também de
. Apresente todos os passos de resolução e justifique todas as respostas. Utilize as técnicas de Fourier.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele nos dá (peguei os valores do filtro da imagem fornecida).
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O enunciado pede:
(a) determinar a frequência fundamental de;
(b) determinar os coeficientes da série exponencial de Fourier de;
(c) determinar o sinal de saídaquando passa por um filtro passa-faixa ideal com frequência central igual a e banda de passagem igual a . -
O sinal de entrada é
-
Dados do filtro (peguei estes números da imagem):A partir disso, calculamosO filtro ideal tem ganho
para com e fora dessa banda (simétrico em relação a ).
Passo 2
Determinar se
é periódico e achar sua frequência fundamental.
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Conceito importante (explicação didática): um sinal contínuo
composto por somas de cossenos e senos é periódico se todas as suas frequências angulares forem múltiplos inteiros de uma mesma frequência angular básica . Nesse caso é o máximo divisor comum (em sentido inteiro) das . Se existir, o período é . -
No nosso sinal temos componentes com as seguintes frequências angulares:
- componente DC:
; - da parcela
: ; - da parcela
: .
- componente DC:
-
Observe que todos esses
são múltiplos de : . Os inteiros 5 e 14 têm máximo divisor comum . Portanto o maior que divide todos é Assim o sinal é periódico com
Passo 3
Definir e calcular os coeficientes da série exponencial de Fourier.
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Fórmula (aula curta): para um sinal periódico de período
com , a série exponencial é e os coeficientes são dados porMas quandoé soma de exponenciais simples (ou senos/cossenos), é muito mais prático decompor cada termo em exponenciais complexas e ler os coeficientes diretamente. -
Decomposição das componentes:
- Componente DC
corresponde a (pois é a média do sinal). - Para
usamos . Como , Logo os coeficientes associados são - Para
usamos . Assim Portanto os coeficientes são Podemos escrever essas constantes também em forma com : pois .
- Componente DC
-
Conclusão: todos os demais
são zero. Resumindo os coeficientes não nulos: epara os outros .
Passo 4
Determinar a saída
do sistema LTI usando a representação em série de Fourier e a ação do filtro no domínio de frequência.
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Conceito útil (aula curta): para um sistema linear invariante no tempo com resposta em frequência
, se a entrada tem coeficientes na série exponencial com base , a saída terá coeficientes porque cada exponencialé autônoma (é um modo do sistema) e é multiplicada por . -
Aplicando ao nosso filtro (peguei
e da imagem): - O filtro passa-faixa ideal satisfaz
se (ou seja, ), e caso contrário. - Avaliando
nos harmônicos relevantes: - Para
: . Como não está na banda , temos . Logo o componente DC é rejeitado. - Para
: . Como e , temos . Esses harmônicos passam sem atenuação. - Para
: . Como , temos . Esses harmônicos são totalmente rejeitados.
- Para
- O filtro passa-faixa ideal satisfaz
-
Então os coeficientes de saída sãoTodos os outros
também são zero. -
Reconstruindo
a partir dos coeficientes não nulos ( e ):
Passo 5
Resumo final e comentários motivadores:
- O procedimento prático para a prova: decomponha o sinal em exponenciais complexas (ou use identidades seno/cosseno), leia os coeficientes
, e depois multiplique cada coeficiente por para obter . Reconstrua . Aqui o filtro passou apenas a componente em e rejeitou DC e .
Resposta
(a)
(isto é,
e
).
(b) Coeficientes não nulos:
(b) Coeficientes não nulos:
e
para os demais
.
(c)
(c)