Exercício 2.19 Um circuito RLC série é modificado para operar como filtro passa-faixa (com a saída medida exclusivamente sobre o resistor
). Deduza a equação diferencial linear que rege a tensão de saída
em relação à tensão de entrada
.
Passo 1
O enunciado dá um circuito série com um resistor
, um indutor
e um capacitor
conectados em série. A tensão de entrada é
aplicada ao conjunto série e a tensão de saída
é medida exclusivamente sobre o resistor
.
O que se pede: deduzir a equação diferencial linear que relaciona a
.
Informações/variáveis relevantes (já presentes no enunciado):
O que se pede: deduzir a equação diferencial linear que relaciona
Informações/variáveis relevantes (já presentes no enunciado):
- Resistência:
. - Indutância:
. - Capacitância:
. - Corrente que percorre a série:
(a mesma em todos os elementos porque estão em série). - Relação entre saída e corrente:
.
Passo 2
Vou escrever as equações elétricas básicas que valem no circuito (estas são relações fundamentais que normalmente se usa em prova).
Lei das tensões (KVL) ao redor do laço série: a tensão de entrada é a soma das tensões nos três elementos:
Lei das tensões (KVL) ao redor do laço série: a tensão de entrada é a soma das tensões nos três elementos:
Agora explico cada termo:
-
(Lei de Ohm: tensão no resistor = resistência corrente). -
(tensão no indutor proporcional à derivada da corrente; é a indutância). -
onde é a carga do capacitor; como temos também (tensão no capacitor é proporcional à carga, integral da corrente).
Passo 3
Usando
podemos eliminar
e expressar tudo em função de
. Primeiro escrevo
em função de
:
Substituo
na KVL usando essa relação:
Agora substituo
em cada termo:
Expliquei: o primeiro termo
; o segundo
; o terceiro
.
Passo 4
Temos uma integral de
no lado direito e queremos uma equação diferencial (sem integrais). Uma operação padrão é derivar ambos os lados em relação ao tempo para eliminar a integral, pois a derivada da integral dá novamente
. Diferencio a expressão anterior:
Aqui usei regras de derivação termo a termo: a derivada da integral é simplesmente
.
Passo 5
Agora reorganizo a equação obtida para escrever na forma usual de uma equação diferencial linear de segunda ordem. Coloco todos os termos envolvendo
no lado esquerdo:
Esta já é uma equação diferencial relando
e
, mas é comum apresentar com coeficientes padrão (sem frações com
na frente da derivada de segunda ordem).
Passo 6
Multiplico toda a equação por
para normalizar o coeficiente da derivada de segunda ordem para
. Fazendo isso obtenho:
Explico o que cada coeficiente representa fisicamente:
-
é o quadrado da frequência natural do circuito sem amortecimento (então ). -
é o termo de amortecimento (proporcional à resistência). - O lado direito
mostra que a entrada aparece através de sua derivada — é típico quando a saída é a tensão no resistor em série.
Passo 7
Resumo e observações finais para a hora da prova (como reconhecer e usar esta equação rapidamente):
- Parta sempre da KVL e das relações constitutivas
, , . - Se a saída for proporcional à corrente (aqui
), substitua imediatamente para eliminar a corrente. - Se aparecer integral, diferencie para obter uma ODE; se aparecer derivada da corrente, substitua diretamente e manipule para obter a forma desejada.
- Coeficientes finais: informação útil para análise de resposta natural e de regime forçado:
e (meio da taxa de amortecimento) se quiser reescrever no formato canônico.