Exercício 2.19 Um circuito RLC série é modificado para operar como filtro passa-faixa (com a saída medida exclusivamente sobre o resistor R ). Deduza a equação diferencial linear que rege a tensão de saída v_{o}(t) em relação à tensão de entrada v_{i}(t).

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com um resistor R, um indutor L e um capacitor C conectados em série. A tensão de entrada é v_{i}(t) aplicada ao conjunto série e a tensão de saída v_{!o}(t) é medida exclusivamente sobre o resistor R.
O que se pede: deduzir a equação diferencial linear que relaciona v_{o}(t) a v_{i}(t).
Informações/variáveis relevantes (já presentes no enunciado):
  • Resistência: R.
  • Indutância: L.
  • Capacitância: C.
  • Corrente que percorre a série: i(t) (a mesma em todos os elementos porque estão em série).
  • Relação entre saída e corrente: v_{o}(t)=R\,i(t).

Passo 2

Vou escrever as equações elétricas básicas que valem no circuito (estas são relações fundamentais que normalmente se usa em prova).
Lei das tensões (KVL) ao redor do laço série: a tensão de entrada é a soma das tensões nos três elementos:
v_{i}(t)=v_{R}(t)+v_{L}(t)+v_{C}(t).
Agora explico cada termo:
  • v_{R}(t)=R\,i(t) (Lei de Ohm: tensão no resistor = resistência \times corrente).
  • v_{L}(t)=L\,\dfrac{d i(t)}{d t} (tensão no indutor proporcional à derivada da corrente; L é a indutância).
  • v_{C}(t)=\dfrac{1}{C}\,q(t) onde q(t) é a carga do capacitor; como i(t)=\dfrac{d q(t)}{d t} temos também v_{C}(t)=\dfrac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i(\tau)\,d\tau (tensão no capacitor é proporcional à carga, integral da corrente).

Passo 3

Usando v_{o}(t)=R\,i(t) podemos eliminar i(t) e expressar tudo em função de v_{o}(t). Primeiro escrevo i(t) em função de v_{o}(t):
i(t)=\frac{v_{o}(t)}{R}.
Substituo v_{R},v_{L},v_{C} na KVL usando essa relação:
v_{i}(t)=R\,i(t)+L\,\frac{d i(t)}{d t}+\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i(\tau)\,d\tau.
Agora substituo i(t)=\dfrac{v_{o}(t)}{R} em cada termo:
v_{i}(t)=v_{o}(t)+\frac{L}{R}\,\frac{d v_{o}(t)}{d t}+\frac{1}{C R}\int_{-\infty}^{t} v_{o}(\tau)\,d\tau.
Expliquei: o primeiro termo R i = v_o; o segundo L\,d i/dt = (L/R)\,d v_o/dt; o terceiro (1/C)\int i = (1/(CR))\int v_o.

Passo 4

Temos uma integral de v_{o} no lado direito e queremos uma equação diferencial (sem integrais). Uma operação padrão é derivar ambos os lados em relação ao tempo para eliminar a integral, pois a derivada da integral dá novamente v_{o}(t). Diferencio a expressão anterior:
\frac{d v_{i}(t)}{d t}=\frac{d v_{o}(t)}{d t}+\frac{L}{R}\,\frac{d^{2} v_{o}(t)}{d t^{2}}+\frac{1}{C R}\,v_{o}(t).
Aqui usei regras de derivação termo a termo: a derivada da integral é simplesmente v_{o}(t).

Passo 5

Agora reorganizo a equação obtida para escrever na forma usual de uma equação diferencial linear de segunda ordem. Coloco todos os termos envolvendo v_{o} no lado esquerdo:
\frac{L}{R}\,\frac{d^{2} v_{o}(t)}{d t^{2}}+\frac{d v_{o}(t)}{d t}+\frac{1}{C R}\,v_{o}(t)=\frac{d v_{i}(t)}{d t}.
Esta já é uma equação diferencial relando v_{o} e v_{i}, mas é comum apresentar com coeficientes padrão (sem frações com L/R na frente da derivada de segunda ordem).

Passo 6

Multiplico toda a equação por \dfrac{R}{L} para normalizar o coeficiente da derivada de segunda ordem para 1. Fazendo isso obtenho:
\frac{d^{2} v_{o}(t)}{d t^{2}}+\frac{R}{L}\,\frac{d v_{o}(t)}{d t}+\frac{1}{L C}\,v_{o}(t)=\frac{R}{L}\,\frac{d v_{i}(t)}{d t}.
Explico o que cada coeficiente representa fisicamente:
  • \dfrac{1}{L C} é o quadrado da frequência natural do circuito sem amortecimento (então \omega_{0}^{2}=\dfrac{1}{LC}).
  • \dfrac{R}{L} é o termo de amortecimento (proporcional à resistência).
  • O lado direito \dfrac{R}{L}\dfrac{d v_{i}}{dt} mostra que a entrada aparece através de sua derivada — é típico quando a saída é a tensão no resistor em série.

Passo 7

Resumo e observações finais para a hora da prova (como reconhecer e usar esta equação rapidamente):
  • Parta sempre da KVL e das relações constitutivas v_R=Ri, v_L=L di/dt, v_C=(1/C)\int i.
  • Se a saída for proporcional à corrente (aqui v_o=R i), substitua i=v_o/R imediatamente para eliminar a corrente.
  • Se aparecer integral, diferencie para obter uma ODE; se aparecer derivada da corrente, substitua diretamente e manipule para obter a forma desejada.
  • Coeficientes finais: informação útil para análise de resposta natural e de regime forçado: \omega_0^2=1/(LC) e \alpha=R/(2L) (meio da taxa de amortecimento) se quiser reescrever no formato canônico.

Resposta

\frac{d^{2} v_{o}(t)}{d t^{2}}+\frac{R}{L}\,\frac{d v_{o}(t)}{d t}+\frac{1}{L C}\,v_{o}(t)=\frac{R}{L}\,\frac{d v_{i}(t)}{d t}.

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