[2 pontos] desenhe o circuito lógico para a expressão abaixo, em seguida simplifique algebricamente a equação S1.
S 1=\overline{\overline{A \cdot \overline{B+C}}+\bar{D}+\bar{A}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Desenhar o circuito lógico correspondente à expressão dada.
  • Simplificar algebricamente a equação S1.
A expressão dada é
S1=\overline{\overline{A \cdot \overline{B+C}}+\bar{D}+\bar{A}}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As variáveis de entrada são A, B, C e D.
  • A expressão usa as operações lógicas AND (representada por \cdot), OR (representada por +) e NOT (representada por barra — \overline{\cdot} ou \bar{\cdot}).
  • Deve ser feito primeiro o circuito correspondente à expressão tal como está, e depois a simplificação algébrica de S1.

Passo 2

Entender e aplicar a primeira transformação interna: a parte \overline{B+C}.
Lei usada: as Leis de De Morgan. Elas dizem, entre outras formas úteis:
\overline{X+Y}=\overline{X}\cdot\overline{Y},\qquad \overline{X\cdot Y}=\overline{X}+\overline{Y}.
Aplicando ao caso \overline{B+C}:
\overline{B+C}=\bar{B}\cdot\bar{C}.
Explicação simples: o complemento (NOT) de um OR vira um AND dos complementos.

Passo 3

Substituir na expressão interna A\cdot\overline{B+C}:
A\cdot\overline{B+C}=A\cdot(\bar{B}\cdot\bar{C})=A\cdot\bar{B}\cdot\bar{C}.
Aqui usei que o AND é associativo: (A\cdot\bar B)\cdot\bar C = A\cdot(\bar B\cdot\bar C).

Passo 4

Agora aplico negação sobre esse produto: \overline{A\cdot\bar{B}\cdot\bar{C}}.
Pela Lei de De Morgan para AND de três termos:
\overline{A\cdot\bar{B}\cdot\bar{C}}=\bar{A}+ \overline{\bar{B}}+ \overline{\bar{C}}.
Simplificando \overline{\bar{B}}=B e \overline{\bar{C}}=C, obtemos:
\overline{A\cdot\bar{B}\cdot\bar{C}}=\bar{A}+B+C.
Explicação: o complemento de um AND vira OR dos complementos; complementar uma negação dupla cancela.

Passo 5

Substituindo isso de volta na expressão total dentro da negação externa:
\overline{A\cdot\overline{B+C}}+\bar{D}+\bar{A} = (\bar{A}+B+C)+\bar{D}+\bar{A}.
Agora use as propriedades do OR:
  • Idempotência: X+X=X.
  • Comutatividade e associatividade: a ordem não importa.
Como \bar{A} aparece duas vezes, a expressão OR soma todas as variáveis sem repetição:
(\bar{A}+B+C)+\bar{D}+\bar{A} = \bar{A}+B+C+\bar{D}.

Passo 6

Portanto a expressão original se reduz a
S1=\overline{\bar{A}+B+C+\bar{D}}.
Agora aplico De Morgan novamente (complemento de OR vira AND dos complementos):
S1=\overline{\bar{A}}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}\cdot\overline{\bar{D}}.
Usando dupla negação \overline{\bar{A}}=A e \overline{\bar{D}}=D, chegamos à forma simplificada:
S1 = A\cdot\bar{B}\cdot\bar{C}\cdot D.

Passo 7

Resumo das leis principais usadas (mini-aula rápida, prática para a prova):
  • De Morgan: \overline{X+Y}=\overline{X}\cdot\overline{Y},\qquad \overline{X\cdot Y}=\overline{X}+\overline{Y}.
  • Dupla negação: \overline{\overline{X}}=X.
  • Idempotência e absorção em OR: X+X=X,\qquad X+(X\cdot Y)=X.
Na prova: quando você vê muitas barras sobre somas/produtos, aplique De Morgan para ‘abrir’ a negação e simplificar termos repetidos.

Passo 8

Como desenhar o circuito lógico — descrição passo a passo (circuito literal da expressão original):
Circuito correspondente exatamente à expressão original \displaystyle S1=\overline{\overline{A\cdot\overline{B+C}}+\bar{D}+\bar{A}}:
  1. Entradas: A,B,C,D.
  2. Fazer um OR com B e C → saída B+C.
  3. Passar B+C por um NOT → saída \overline{B+C}.
  4. Fazer um AND com A e \overline{B+C} → saída A\cdot\overline{B+C}.
  5. Passar essa saída por um NOT → saída \overline{A\cdot\overline{B+C}}.
  6. Fazer NOT em D para obter \bar{D}.
  7. Fazer NOT em A para obter \bar{A}.
  8. Fazer um OR de três entradas: \overline{A\cdot\overline{B+C}}, \bar{D} e \bar{A} → saída \overline{A\cdot\overline{B+C}}+\bar{D}+\bar{A}.
  9. Passar essa saída final por um NOT → saída S1.
Observação: esse circuito é fiel à expressão dada, mas não é mínimo.

Passo 9

Circuito lógico simplificado (implementação mínima da forma simplificada S1 = A\cdot\bar{B}\cdot\bar{C}\cdot D) — muito mais simples para desenhar e implementar:
  1. Entradas: A,B,C,D.
  2. Fazer NOT em B \bar{B}.
  3. Fazer NOT em C \bar{C}.
  4. Fazer um AND de quatro entradas: A, \bar{B}, \bar{C} e D.
  5. Saída desse AND é S1.
Dica prática para a prova: sempre tente simplificar simbolicamente antes de desenhar o circuito — economiza tempo e número de portas.

Resposta

Circuito (original): OR( \,B,C\,) → NOT → AND(with A) → NOT gives \overline{A\cdot\overline{B+C}}; NOT( D) and NOT( A); OR of these three → final NOT (essa sequência implementa \displaystyle S1=\overline{\overline{A\cdot\overline{B+C}}+\bar{D}+\bar{A}}).
S1 simplificado: A\cdot\bar{B}\cdot\bar{C}\cdot D

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