Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada. Sabe-se que:
  • A tensão de fase V_{A N} do alternador é 380 \angle 50^{\circ}, frequência é de 60 Hz e sequência é A C B.
  • A ligação é Y-Y
  • A resistência é de 0,2 \Omega e a reatância é de 0,5 \Omega para cada fio da linha (desconsiderar as indutâncias mútuas entre os fios da linha).
  • A impedância da carga é de 3+j 4 \Omega

Determine:

a) As tensões de fase e de linha do gerador (fasores);
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador;
c) As tensões de fase e de linha na carga;

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (já formatados):
  • Tensões e sequência do gerador:
    • V_{AN}=380\angle 50^\circ (tensão de fase do alternador).
    • Frequência =60\\ \text{Hz}.
    • Sequência de fases: A\;C\;B.
  • Conexão: Y–Y (estrela no gerador e estrela na carga).
  • Impedância por fio da linha (por fase, série): Z_{\ell}=0{,}2+j\,0{,}5\\ \Omega.
  • Impedância por fase da carga (ligada em Y): Z_{L}=3+j\,4\\ \Omega.
O que se pede:
a) As tensões de fase e de linha do gerador (fasores).
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador.
c) As tensões de fase e de linha na carga.
Observações que usarei sem perguntar:
  • Como o sistema e a carga são equilibrados, as três fases têm a mesma magnitude e são deslocadas por \pm 120^\circ segundo a sequência dada.
  • Em ligação Y, a corrente de linha é a mesma que a corrente de fase (por fase passa a corrente que alimenta a respectiva impedância de fase).

Passo 2

Determinar as tensões de fase (todas as fases) no gerador usando a sequência A\;C\;B.
Explicação curta sobre sequência: para uma sequência A\;B\;C positiva temos V_{BN}=V_{AN}\angle -120^\circ e V_{CN}=V_{AN}\angle +120^\circ. Na sequência invertida A\;C\;B trocam-se os sentidos: o próximo após A é C (ou seja, C está atrasada 120^\circ em relação a A ou equivalentemente B está adiantada 120^\circ em relação a A). Assim:
V_{BN}=V_{AN}\angle +120^\circ,\qquad V_{CN}=V_{AN}\angle -120^\circ.
Aplicando aos números:
V_{AN}=380\angle 50^\circ\\ \text{V},
V_{BN}=380\angle(50^\circ+120^\circ)=380\angle 170^\circ\\ \text{V},
V_{CN}=380\angle(50^\circ-120^\circ)=380\angle -70^\circ\\ \text{V}.

Passo 3

Calcular as tensões de linha no lado do gerador. Definição: V_{AB}=V_{AN}-V_{BN}, V_{BC}=V_{BN}-V_{CN}, V_{CA}=V_{CN}-V_{AN}.
Método prático: converter V_{AN},V_{BN},V_{CN} para forma retangular, subtrair e voltar para polar.
Cálculos (apresento valores intermediários arredondados com precisão suficiente):
V_{AN}=380(\cos50^\circ+j\sin50^\circ)=244{,}261+j291{,}197\\ \text{V},
V_{BN}=380(\cos170^\circ+j\sin170^\circ)=-374{,}228+j65{,}986\\ \text{V},
V_{CN}=380(\cos(-70^\circ)+j\sin(-70^\circ))=129{,}969-j357{,}183\\ \text{V}.
Agora as diferenças:
V_{AB}=V_{AN}-V_{BN}=(244{,}261-(-374{,}228))+j(291{,}197-65{,}986)=618{,}489+j225{,}211
\Rightarrow V_{AB}\approx 658{,}27\angle 20{,}06^\circ\\ \text{V}.
V_{BC}=V_{BN}-V_{CN}=(-374{,}228-129{,}969)+j(65{,}986-(-357{,}183))=-504{,}197+j423{,}169
\Rightarrow V_{BC}\approx 657{,}38\angle 139{,}99^\circ\\ \text{V}.
V_{CA}=V_{CN}-V_{AN}=(129{,}969-244{,}261)+j(-357{,}183-291{,}197)=-114{,}292-j648{,}380
\Rightarrow V_{CA}\approx 658{,}36\angle -99{,}05^\circ\\ \text{V}.
Comentário rápido: as magnitudes estão próximas de \sqrt{3}\times 380\approx 657{,}9\\ \text{V}, como se espera para um sistema equilibrado.

Passo 4

Determinar as correntes de fase (e, por consequência, as correntes de linha) fornecidas pelo gerador.
Montagem do circuito por fase (analogia): cada fase do gerador vê em série a impedância da linha Z_{\ell} e a impedância da carga Z_L. Portanto a impedância por fase vista pelo gerador é
Z_{\text{tot}}=Z_{\ell}+Z_L=(0{,}2+j0{,}5)+(3+j4)=3{,}2+j4{,}5\\ \Omega.
Explicação da divisão complexa (passo didático): para dividir I=V/Z é prático converter V e Z para forma polar e subtrair ângulos e dividir magnitudes:
|Z_{\text{tot}}|=\sqrt{3{,}2^2+4{,}5^2}=\sqrt{30{,}49}=5{,}5226\\ \Omega,
\angle Z_{\text{tot}}=\arctan\!\left(\dfrac{4{,}5}{3{,}2}\right)=54{,}462^\circ.
Agora:
I_{AN}=\dfrac{V_{AN}}{Z_{\text{tot}}}=\dfrac{380\angle 50^\circ}{5{,}5226\angle 54{,}462^\circ}=\dfrac{380}{5{,}5226}\angle(50^\circ-54{,}462^\circ).
\Rightarrow I_{AN}\approx 68{,}83\angle -4{,}46^\circ\\ \text{A}.
Como o sistema e as impedâncias são equilibradas, as correntes seguem a mesma sequência de fases dos tensões (mesmo deslocamento angular entre fases). Logo:
I_{BN}=I_{AN}\angle 120^\circ\approx 68{,}83\angle 115{,}54^\circ\\ \text{A},
I_{CN}=I_{AN}\angle -120^\circ\approx 68{,}83\angle -124{,}46^\circ\\ \text{A}.
Observação: em ligação Y a corrente de linha em cada condutor é exatamente a corrente de fase correspondente, portanto as correntes de linha são os mesmos fasores acima:
I_{A}=I_{AN},\quad I_{B}=I_{BN},\quad I_{C}=I_{CN}.

Passo 5

Determinar as tensões de fase e de linha na carga.
Do ponto de vista da carga, a tensão de fase sobre a impedância de carga é simplesmente:
V_{aN}^{(carga)}=I_{AN}\,Z_L.
Explicação de multiplicação complexa: multiplica-se magnitudes e soma-se os ângulos.
Temos Z_L=3+j4 com |Z_L|=5 e \angle Z_L=\arctan(4/3)=53{,}130^\circ. Assim:
V_{aN}^{(carga)}=68{,}8259\angle -4{,}462^\circ \times 5\angle 53{,}130^\circ =344{,}13\angle 48{,}668^\circ\\ \text{V}.
As outras fases seguem a mesma sequência:
V_{bN}^{(carga)}=344{,}13\angle(48{,}668^\circ+120^\circ)=344{,}13\angle 168{,}668^\circ\\ \text{V},
V_{cN}^{(carga)}=344{,}13\angle(48{,}668^\circ-120^\circ)=344{,}13\angle -71{,}332^\circ\\ \text{V}.
Tensões de linha na carga: como antes, V_{ab}^{(carga)}=V_{aN}^{(carga)}-V_{bN}^{(carga)} etc. Para um sistema equilibrado a magnitude de V_{ab}^{(carga)} é \sqrt{3} vezes a tensão de fase na carga e o ângulo fica deslocado aproximadamente -30^\circ (dependendo da sequência). Calculando diretamente (ou usando a relação),
|V_{ab}^{(carga)}|=\sqrt{3}\times 344{,}13\approx 596{,}36\\ \text{V},
e o ângulo encontrado por subtração é cerca de 18{,}36^\circ. Assim:
V_{ab}^{(carga)}\approx 596{,}36\angle 18{,}36^\circ\\ \text{V},
V_{bc}^{(carga)}\approx 596{,}36\angle (18{,}36^\circ+120^\circ)=596{,}36\angle 138{,}36^\circ\\ \text{V},
V_{ca}^{(carga)}\approx 596{,}36\angle (18{,}36^\circ-120^\circ)=596{,}36\angle -101{,}64^\circ\\ \text{V}.

Resposta

a) Tensões do gerador (fase e linha):
V_{AN}=380\angle 50^\circ\\ \text{V}
V_{BN}=380\angle 170^\circ\\ \text{V}
V_{CN}=380\angle -70^\circ\\ \text{V}
V_{AB}\approx 658{,}27\angle 20{,}06^\circ\\ \text{V}
V_{BC}\approx 657{,}38\angle 139{,}99^\circ\\ \text{V}
V_{CA}\approx 658{,}36\angle -99{,}05^\circ\\ \text{V}
b) Correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador:
I_{AN}\approx 68{,}83\angle -4{,}46^\circ\\ \text{A}
I_{BN}\approx 68{,}83\angle 115{,}54^\circ\\ \text{A}
I_{CN}\approx 68{,}83\angle -124{,}46^\circ\\ \text{A}
c) Tensões de fase e de linha na carga:
V_{aN}^{(carga)}\approx 344{,}13\angle 48{,}67^\circ\\ \text{V}
V_{bN}^{(carga)}\approx 344{,}13\angle 168{,}67^\circ\\ \text{V}
V_{cN}^{(carga)}\approx 344{,}13\angle -71{,}33^\circ\\ \text{V}
V_{ab}^{(carga)}\approx 596{,}36\angle 18{,}36^\circ\\ \text{V}
V_{bc}^{(carga)}\approx 596{,}36\angle 138{,}36^\circ\\ \text{V}
V_{ca}^{(carga)}\approx 596{,}36\angle -101{,}64^\circ\\ \text{V}

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