Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada. Sabe-se que:
- A tensão de fase
do alternador é
, frequência é de 60 Hz e sequência é
.
- A ligação é Y-Y
- A resistência é de
e a reatância é de
para cada fio da linha (desconsiderar as indutâncias mútuas entre os fios da linha).
- A impedância da carga é de
Determine:
a) As tensões de fase e de linha do gerador (fasores);
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador;
c) As tensões de fase e de linha na carga;
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador;
c) As tensões de fase e de linha na carga;
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes (já formatados):
- Tensões e sequência do gerador:
-
(tensão de fase do alternador). - Frequência
. - Sequência de fases:
.
-
- Conexão: Y–Y (estrela no gerador e estrela na carga).
- Impedância por fio da linha (por fase, série):
. - Impedância por fase da carga (ligada em Y):
.
O que se pede:
a) As tensões de fase e de linha do gerador (fasores).
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador.
c) As tensões de fase e de linha na carga.
a) As tensões de fase e de linha do gerador (fasores).
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador.
c) As tensões de fase e de linha na carga.
Observações que usarei sem perguntar:
- Como o sistema e a carga são equilibrados, as três fases têm a mesma magnitude e são deslocadas por
segundo a sequência dada. - Em ligação Y, a corrente de linha é a mesma que a corrente de fase (por fase passa a corrente que alimenta a respectiva impedância de fase).
Passo 2
Determinar as tensões de fase (todas as fases) no gerador usando a sequência
.
Explicação curta sobre sequência: para uma sequência
positiva temos
e
. Na sequência invertida
trocam-se os sentidos: o próximo após
é
(ou seja,
está atrasada
em relação a
ou equivalentemente
está adiantada
em relação a
). Assim:
Aplicando aos números:
Passo 3
Calcular as tensões de linha no lado do gerador. Definição:
,
,
.
Método prático: converter
para forma retangular, subtrair e voltar para polar.
Cálculos (apresento valores intermediários arredondados com precisão suficiente):
Agora as diferenças:
Comentário rápido: as magnitudes estão próximas de
, como se espera para um sistema equilibrado.
Passo 4
Determinar as correntes de fase (e, por consequência, as correntes de linha) fornecidas pelo gerador.
Montagem do circuito por fase (analogia): cada fase do gerador vê em série a impedância da linha
e a impedância da carga
. Portanto a impedância por fase vista pelo gerador é
Explicação da divisão complexa (passo didático): para dividir
é prático converter
e
para forma polar e subtrair ângulos e dividir magnitudes:
Agora:
Como o sistema e as impedâncias são equilibradas, as correntes seguem a mesma sequência de fases dos tensões (mesmo deslocamento angular entre fases). Logo:
Observação: em ligação Y a corrente de linha em cada condutor é exatamente a corrente de fase correspondente, portanto as correntes de linha são os mesmos fasores acima:
Passo 5
Determinar as tensões de fase e de linha na carga.
Do ponto de vista da carga, a tensão de fase sobre a impedância de carga é simplesmente:
Explicação de multiplicação complexa: multiplica-se magnitudes e soma-se os ângulos.
Temos
com
e
. Assim:
As outras fases seguem a mesma sequência:
Tensões de linha na carga: como antes,
etc. Para um sistema equilibrado a magnitude de
é
vezes a tensão de fase na carga e o ângulo fica deslocado aproximadamente
(dependendo da sequência). Calculando diretamente (ou usando a relação),
e o ângulo encontrado por subtração é cerca de
. Assim:
Resposta
a) Tensões do gerador (fase e linha):
b) Correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador:
c) Tensões de fase e de linha na carga: