Um transformador trifásico de 50 \mathrm{kVA}, 2300 \mathrm{~V} / 460 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, conectado em Estrela - triangulo, com os ensaios:
  1. Em vazio: Potencia =3000 \mathrm{~W}, Corrente =40 \mathrm{~A}, Tensão =460 \mathrm{~V}
  2. Em curto circuito: Potencia =2500 \mathrm{~W}, corrente =125 \mathrm{~A}, tensäo =161 \mathrm{~V} Escolha a alternativa que possui os parâmetros do circuito equivalente corretos
    ◯ a. \mathrm{R}_{\text {alta }}=0,0267 Ohm; \mathrm{R}_{\text {baixa }}=0,032 Ohm; \mathrm{X}_{\text {alta }}=0,74 Ohm; \mathrm{X}_{\text {baixa }}= 0,0440 \mathrm{hm}; \mathrm{R}_{\text {Calta }}=1763 \mathrm{Ohm} ; \mathrm{X}_{\text {malta }}=166,7 \mathrm{Ohm}
    ◯ b. \mathrm{R}_{\text {alta }}=0,053 Ohm; \mathrm{R}_{\text {baixa }}=0,032 Ohm; \mathrm{X}_{\text {alta }}=0,37 Ohm; \mathrm{X}_{\text {baixa }}= 0,0440 \mathrm{hm}; \mathrm{R}_{\text {Calta }}=1763 \mathrm{Ohm} ; \mathrm{X}_{\text {malta }}=166,7 \mathrm{Ohm}
    ◯ c. \mathrm{R}_{\text {alta }}=0,053 Ohm; \mathrm{R}_{\text {baixa }}=0,032 Ohm; \mathrm{X}_{\text {alta }}=0,74 Ohm; \mathrm{X}_{\text {baixa }}= 0,0440 \mathrm{hm}; \mathrm{R}_{\text {Calta }}=1763 \mathrm{Ohm} ; \mathrm{X}_{\text {malta }}=166,7 \mathrm{Ohm}
    ◯ d. \mathrm{R}_{\text {alta }}=0,0267 Ohm; \mathrm{R}_{\text {baixa }}=0,032 Ohm; \mathrm{X}_{\text {alta }}=0,37 Ohm; \mathrm{X}_{\text {baixa }}= 0,0440 \mathrm{hm}; \mathrm{R}_{\text {Calta }}=1763 Ohm; \mathrm{X}_{\text {malta }}=166,7 \mathrm{Ohm}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do transformador:
  • Potência nominal trifásica: 50\\ \mathrm{kVA}.
  • Tensões nominais (linha-linha): 2300\\ \mathrm{V} / 460\\ \mathrm{V}.
  • Ligação: Estrela (alta) — Triângulo (baixa).
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
Ensaios fornecidos (valores totais trifásicos):
  1. Ensaio a vazio:
  • Potência total P_{oc,3\varphi}=3000\\ \mathrm{W}.
  • Corrente (medida no lado baixo) I_{oc,\text{linha}}=40\\ \mathrm{A}.
  • Tensão no lado baixo (linha) V_{2,LL}=460\\ \mathrm{V}.
  1. Ensaio em curto-circuito:
  • Potência total P_{sc,3\varphi}=2500\\ \mathrm{W}.
  • Corrente (linha) I_{sc,\text{linha}}=125\\ \mathrm{A}.
  • Tensão aplicada (lado onde o ensaio foi feito, linha) V_{sc,LL}=161\\ \mathrm{V}.
O que o enunciado pede:
  • Escolher a alternativa que possui os parâmetros corretos do circuito equivalente (os valores de \mathrm{R} e \mathrm{X} de alta e baixa, e os parâmetros do ramo de magnetização).
Observação importante (convênio adotado para comparar com as alternativas):
  • Para casar com os números das alternativas devemos usar a relação de transformação de tensões dada pelas tensões nominais linha-linha:
a=\frac{V_{1,LL}}{V_{2,LL}}=\frac{2300}{460}=5.
(Iremos usar essa razão a=5 para relacionar correntes e impedâncias entre lados alta/baixa seguindo a convenção usada nas alternativas.)

Passo 2

No ensaio a vazio (ramo de magnetização): teoria e fórmulas.
O ensaio a vazio é feito com um lado alimentado com a tensão nominal do transformador e o outro lado aberto; mede-se a potência total, corrente e tensão. Essas medidas permitem obter, por fase, os parâmetros do ramo paralelo de magnetização: resistência de perdas no ferro R_m (associada à potência P_{oc}) e reatância de magnetização X_m (associada à corrente reativa do enrolamento de magnetização).
Passos e fórmulas úteis (por fase):
  • Potência por fase: P_{oc,\text{ph}}=\dfrac{P_{oc,3\varphi}}{3}.
  • Tensão de fase no lado de referência (no lado de alta em ligação estrela): V_{1,\text{ph}}=\dfrac{V_{1,LL}}{\sqrt{3}}.
  • Condutância por fase: G_c=\dfrac{P_{oc,\text{ph}}}{V_{1,\text{ph}}^{2}}.
  • Resistência de perdas no ferro por fase: R_m=\dfrac{1}{G_c}.
  • Admitância magnética por fase (módulo): Y_0=\dfrac{I_{1,\text{ph}}}{V_{1,\text{ph}}}, onde I_{1,\text{ph}} é a corrente de fase referida ao lado de alta.
  • Susceptância de magnetização: B_m=\sqrt{Y_0^{2}-G_c^{2}}.
  • Reatância de magnetização: X_m=\dfrac{1}{B_m}.
Agora aplicamos os números. Para aplicar estas fórmulas precisamos do valor de V_{1,\text{ph}} (fase do lado alta) e da corrente de fase no lado alta I_{1,\text{ph}}. Usamos a convenção a=5 (linha-linha) para relacionar a corrente medida no lado baixo com a corrente de fase no lado alto:
  • A corrente medida I_{oc,\text{linha}}=40\\ \mathrm{A} está no lado baixo (baixa tensão). A corrente de referência no lado alto por fase, seguindo a convenção adotada, é
I_{1,\text{ph}}=\frac{I_{oc,\text{linha}}}{a}=\frac{40}{5}=8{,}0\\ \mathrm{A}.
  • A tensão de fase no lado alto é
V_{1,\text{ph}}=\frac{V_{1,LL}}{\sqrt{3}}=\frac{2300}{\sqrt{3}}\approx1328{,}0\\ \mathrm{V}.
  • Potência por fase:
P_{oc,\text{ph}}=\frac{3000}{3}=1000\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Cálculo numérico do ramo de magnetização (a partir do ensaio a vazio), passo a passo.
  1. Condutância por fase:
G_c=\frac{P_{oc,\text{ph}}}{V_{1,\text{ph}}^{2}}=\frac{1000}{1328{,}0^{2}} \approx0{,}0005676\\ \mathrm{S}.
  1. Resistência de perdas no ferro por fase:
R_m=\frac{1}{G_c}\approx\frac{1}{0{,}0005676}\approx1763\\ \Omega.
  1. Admitância total por fase (módulo):
Y_0=\frac{I_{1,\text{ph}}}{V_{1,\text{ph}}}=\frac{8{,}0}{1328{,}0}\approx0{,}006026\\ \mathrm{S}.
  1. Susceptância de magnetização:
B_m=\sqrt{Y_0^{2}-G_c^{2}} =\sqrt{(0{,}006026)^{2}-(0{,}0005676)^{2}} \approx0{,}0060036\\ \mathrm{S}.
  1. Reatância de magnetização por fase:
X_m=\frac{1}{B_m}\approx\frac{1}{0{,}0060036}\approx166{,}7\\ \Omega.
Resultado do ramo de magnetização por fase (referido ao lado alto, fase):
  • R_m\approx1763\\ \Omega.
  • X_m\approx166{,}7\\ \Omega.
Esses dois números aparecem nas alternativas (como \mathrm{R}_{\text{Calta}} e \mathrm{X}_{\text{malta}}).

Passo 4

Ensaio em curto-circuito: teoria e aplicação numérica para obter a impedância série (per fase) referida ao lado onde o ensaio foi feito.
No ensaio em curto-circuito aplica‑se uma tensão reduzida até que a corrente alcance um valor (aqui foi medida I_{sc}=125\\ \mathrm{A}). A potência medida no curto é praticamente perdas no cobre (perdas ôhmicas totais nos dois enrolamentos referidas ao lado de ensaio). A partir disso obtemos a resistência equivalente por fase e a reatância equivalente por fase (referidas ao lado de ensaio).
Fórmulas por fase:
  • Potência por fase: P_{sc,\text{ph}}=\dfrac{P_{sc,3\varphi}}{3}.
  • Tensão de fase no lado de ensaio (lado alto em estrela): V_{ph}=\dfrac{V_{sc,LL}}{\sqrt{3}}.
  • Resistência equivalente total por fase (referida ao lado de ensaio):
R_{eq}=\frac{P_{sc,\text{ph}}}{I_{sc}^{2}}.
  • Módulo da impedância por fase:
|Z_{eq}|=\frac{V_{ph}}{I_{sc}}.
  • Reatância equivalente por fase:
X_{eq}=\sqrt{|Z_{eq}|^{2}-R_{eq}^{2}}.
Aplicando os números (usando o lado alto como referência porque as alternativas trazem \mathrm{R}_{\text{alta}} e \mathrm{X}_{\text{alta}}):
  • P_{sc,\text{ph}}=\dfrac{2500}{3}\approx833{,}33\\ \mathrm{W}.
  • V_{ph}=\dfrac{161}{\sqrt{3}}\approx92{,}986\\ \mathrm{V}.
  • Corrente por fase (no lado estrela, corrente de linha = corrente de fase): I_{sc}=125\\ \mathrm{A}.
Cálculos:
  1. Resistência equivalente por fase:
R_{eq}=\frac{833{,}33}{125^{2}}=\frac{833{,}33}{15625}\approx0{,}05333\\ \Omega.
  1. Módulo da impedância por fase:
|Z_{eq}|=\frac{92{,}986}{125}\approx0{,}7439\\ \Omega.
  1. Reatância equivalente por fase:
X_{eq}=\sqrt{0{,}7439^{2}-0{,}05333^{2}}\approx0{,}7437\\ \Omega\approx0{,}74\\ \Omega.
Portanto, a impedância série total por fase referida ao lado alto (alta tensão, fase) é aproximadamente:
  • R_{eq}\approx0{,}053\\ \Omega.
  • X_{eq}\approx0{,}74\\ \Omega.
(Em muitas alternativas esses valores aparecem como \mathrm{R}_{\text{alta}} e \mathrm{X}_{\text{alta}}.)

Passo 5

Comparação com as alternativas e conclusão.
Resumo dos valores que calculamos (por fase, referidos ao lado alto):
  • R_{\text{alta}}\approx0{,}053\\ \Omega.
  • X_{\text{alta}}\approx0{,}74\\ \Omega.
  • R_{\text{Calta}}=R_m\approx1763\\ \Omega.
  • X_{\text{malta}}=X_m\approx166{,}7\\ \Omega.
Procurando a alternativa que contenha exatamente esses quatro números vemos que a alternativa (c) tem:
  • \mathrm{R}_{\text{alta}}=0{,}053\\ \Omega (combina),
  • \mathrm{X}_{\text{alta}}=0{,}74\\ \Omega (combina),
  • \mathrm{R}_{\text{Calta}}=1763\\ \Omega (combina),
  • \mathrm{X}_{\text{malta}}=166{,}7\\ \Omega (combina).
As outras alternativas divergem em pelo menos um desses valores (por exemplo, têm \mathrm{R}_{\text{alta}}=0{,}0267 ou \mathrm{X}_{\text{alta}}=0{,}37, etc.). Logo a alternativa correta, que contém os parâmetros que derivamos a partir dos ensaios usando a convenção adotada, é a alternativa (c).

Resposta

c.

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