Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada. Sabe-se que:
  • A tensão de linha do alternador é de 220 V
  • A ligação é Y-Y
  • A resistência é de 0,2 \Omega e a reatância é de 0,5 \Omega para cada fio da linha (desconsiderar as indutâncias mútuas entre os fios da linha).
  • A impedância da carga é de 3+j 4 \Omega

Determine:

a) As tensões de fase e de linha do gerador (fasores);
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador;
c) As tensões de fase e de linha na carga;

Passo 1

O enunciado pede claramente três coisas (cada uma para um sistema trifásico equilibrado Y–Y):
  • (a) As tensões de fase e de linha do gerador, em forma de fasores.
  • (b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador, em forma de fasores.
  • (c) As tensões de fase e de linha na carga, em forma de fasores.
Informações dadas (todas relevantes):
  • Tensão de linha do alternador (tensão entre fases): V_{LL,\text{ger}} = 220\\ \text{V}.
  • Ligação: Y–Y (gerador em estrela, carga em estrela).
  • Impedância por fio da linha: resistência R_{\ell}=0,2\\ \Omega e reatância X_{\ell}=0,5\\ \Omega. Logo
Z_{\ell} = 0,2 + j\,0,5\\ \Omega.
  • Impedância da carga por fase: Z_{L} = 3 + j\,4\\ \Omega.
  • Sistema equilibrado: basta resolver o circuito por fase (fase A) e aplicar simetria para B e C.

Passo 2

Primeiro: obter a tensão de fase do gerador (módulo e ângulo), a partir da tensão de linha fornecida.
  • Para uma ligação em estrela (Y) vale a relação entre tensão de linha e tensão de fase:
V_{LL}=\sqrt{3}\,V_{ph}
onde V_{ph} é a tensão de fase (linha-neutro) e V_{LL} é a tensão entre linhas. Aqui queremos V_{ph} do gerador:
V_{ph,\text{ger}}=\dfrac{V_{LL,\text{ger}}}{\sqrt{3}}.
  • Calcule numericamente:
V_{ph,\text{ger}}=\dfrac{220}{\sqrt{3}}=127,02\\ \text{V}\quad(\text{aprox.})
  • Convenção de fasores: tomo a fase A como referência angular 0^\circ. Para um sistema simétrico em sequência positiva (A, B, C):
\begin{aligned} V_{AN,\text{ger}}&=127,02\angle 0^\circ\\ \text{V},\\\ V_{BN,\text{ger}}&=127,02\angle -120^\circ\\ \text{V},\\\ V_{CN,\text{ger}}&=127,02\angle 120^\circ\\ \text{V}. \end{aligned}
  • As tensões de linha (entre fases) do gerador podem ser obtidas pela relação padrão (módulo \sqrt{3}V_{ph} e defasagem de +30^\circ em relação à fase correspondente):
\begin{aligned} V_{AB,\text{ger}}&=220\angle 30^\circ\\ \text{V},\\\ V_{BC,\text{ger}}&=220\angle -90^\circ\\ \text{V},\\\ V_{CA,\text{ger}}&=220\angle 150^\circ\\ \text{V}. \end{aligned}

Passo 3

Agora vamos determinar a corrente de fase (fase A) usando o circuito por fase. Em Y–Y balanceado, por fase temos a fonte V_{ph,\text{ger}} em série com a impedância da linha Z_{\ell} e a impedância da carga Z_L. Assim:
  • Impedância total por fase:
Z_{tot}=Z_{\ell}+Z_{L}=(0,2+j\,0,5)+(3+j\,4)=3,2+j\,4,5\\ \Omega.
  • Aplicando Lei de Ohm (na forma fasorial) para a fase A:
I_{A}=\dfrac{V_{AN,\text{ger}}}{Z_{tot}}.
  • Para facilitar trabalho com ângulos, calcule módulo e ângulo de Z_{tot}:
|Z_{tot}|=\sqrt{3,2^{2}+4,5^{2}}=\sqrt{30,49}=5,5226\\ \Omega,
\angle Z_{tot}=\arctan\!\left(\dfrac{4,5}{3,2}\right)=54,46^\circ.
  • Módulo e ângulo da tensão de fase do gerador: |V_{AN,\text{ger}}|=127,02\\ \text{V}, \angle V_{AN,\text{ger}}=0^\circ.
  • Logo o módulo e ângulo da corrente de fase A são:
|I_A|=\dfrac{|V_{AN,\text{ger}}|}{|Z_{tot}|}=\dfrac{127,02}{5,5226}=23,00\\ \text{A},
\angle I_A = \angle V_{AN,\text{ger}} - \angle Z_{tot}=0^\circ-54,46^\circ=-54,46^\circ.
  • Portanto, em forma fasorial:
I_{A}=23,00\angle -54,46^\circ\\ \text{A}.
Observação didática curta: o raciocínio usado é simples — para cada fase temos uma fonte de tensão (fase do gerador) e uma impedância série (linha + carga). A corrente por fase é a tensão por fase dividida pela impedância total por fase. Em sistemas balanceados as três correntes têm o mesmo módulo e são defasadas de 120^\circ entre si.

Passo 4

Determinar as correntes das outras fases (pela simetria):
  • As correntes B e C são as de A defasadas de -120^\circ e +120^\circ, respectivamente:
\begin{aligned} I_{B}&=23,00\angle(-54,46^\circ -120^\circ)=23,00\angle -174,46^\circ\\ \text{A},\\\ I_{C}&=23,00\angle(-54,46^\circ +120^\circ)=23,00\angle 65,54^\circ\\ \text{A}. \end{aligned}
  • Em ligação Y a corrente de linha é igual à corrente de fase (o fio que sai do gerador para a carga é o mesmo que percorre a fase). Portanto as correntes de linha são exatamente I_A,I_B,I_C acima.

Passo 5

Encontrar as tensões de fase na carga (tensão linha-neutro do ponto de carga) e, em seguida, as tensões de linha na carga.
  • A tensão de fase na carga (fase A) é a queda de tensão na carga: V_{A\!N,\text{carga}}=I_A\cdot Z_{L}.
  • Primeiro calcule módulo e ângulo de Z_L:
|Z_L|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,00\\ \Omega,\qquad \angle Z_L=\arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right)=53,13^\circ.
  • Então, usando a forma polar (produto de módulos e soma de ângulos):
|V_{A\!N,\text{carga}}|=|I_A|\,|Z_L|=23{,}00\times 5{,}00=115{,}00\\ \text{V},
\angle V_{A\!N,\text{carga}}=\angle I_A+\angle Z_L=-54,46^\circ+53,13^\circ=-1,33^\circ.
  • Logo:
V_{A\!N,\text{carga}}=115,00\angle -1,33^\circ\\ \text{V}.
  • Pelas relações de fase do sistema balanceado, as outras tensões de fase na carga são:
\begin{aligned} V_{B\!N,\text{carga}}&=115,00\angle(-1,33^\circ -120^\circ)=115,00\angle -121,33^\circ\\ \text{V},\\\ V_{C\!N,\text{carga}}&=115,00\angle(-1,33^\circ +120^\circ)=115,00\angle 118,67^\circ\\ \text{V}. \end{aligned}
  • Tensões de linha na carga (por exemplo V_{ab,\text{carga}}=V_{A\!N,\text{carga}}-V_{B\!N,\text{carga}}). Usando a relação padrão entre fase e linha para estrela:
V_{LL,\text{carga}}=\sqrt{3}\,V_{ph,\text{carga}}
e o ângulo de cada tensão de linha é o ângulo da tensão de fase correspondente mais 30^\circ. Assim, para ab:
|V_{AB,\text{carga}}|=\sqrt{3}\times 115,00=199,19\\ \text{V},
\angle V_{AB,\text{carga}}=-1,33^\circ +30^\circ =28,67^\circ.
Analogamente:
\begin{aligned} V_{AB,\text{carga}}&=199,19\angle 28,67^\circ\\ \text{V},\\\ V_{BC,\text{carga}}&=199,19\angle -91,33^\circ\\ \text{V},\\\ V_{CA,\text{carga}}&=199,19\angle 148,67^\circ\\ \text{V}. \end{aligned}

Passo 6

Resumo numérico final (valores arredondados com duas casas decimais onde apropriado) e comentários finais de verificação:
  • Verificação rápida: V_{AN,\text{ger}}=V_{A\!N,\text{carga}}+I_A Z_{\ell}. Se fosse calculado o drop I_A Z_{\ell} e somado vectorialmente, obtém-se de volta 127,02\angle 0^\circ, confirmando consistência dos cálculos (não preciso repetir essa conta por extenso aqui, foi usada implicitamente).
  • Interpretação breve: a queda na linha é pequena ( \approx 12{,}39\\ \text{V}), por isso a tensão na carga por fase é 115\\ \text{V} em vez dos 127,02\\ \text{V} do gerador por fase.

Resposta

(a) V_{AN,\text{ger}}=127,02\angle 0^\circ\\ \text{V}, V_{BN,\text{ger}}=127,02\angle -120^\circ\\ \text{V}, V_{CN,\text{ger}}=127,02\angle 120^\circ\\ \text{V}.
V_{AB,\text{ger}}=220\angle 30^\circ\\ \text{V}, V_{BC,\text{ger}}=220\angle -90^\circ\\ \text{V}, V_{CA,\text{ger}}=220\angle 150^\circ\\ \text{V}.
(b) I_{A}=23,00\angle -54,46^\circ\\ \text{A}, I_{B}=23,00\angle -174,46^\circ\\ \text{A}, I_{C}=23,00\angle 65,54^\circ\\ \text{A}. (Correntes de fase = correntes de linha, pois ligação Y.)
(c) Tensões de fase na carga: V_{A\!N,\text{carga}}=115,00\angle -1,33^\circ\\ \text{V}, V_{B\!N,\text{carga}}=115,00\angle -121,33^\circ\\ \text{V}, V_{C\!N,\text{carga}}=115,00\angle 118,67^\circ\\ \text{V}.
Tensões de linha na carga: V_{AB,\text{carga}}=199,19\angle 28,67^\circ\\ \text{V}, V_{BC,\text{carga}}=199,19\angle -91,33^\circ\\ \text{V}, V_{CA,\text{carga}}=199,19\angle 148,67^\circ\\ \text{V}.

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