Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada. Sabe-se que:
- A tensão de linha do alternador é de 220 V
- A ligação é Y-Y
- A resistência é de
e a reatância é de
para cada fio da linha (desconsiderar as indutâncias mútuas entre os fios da linha).
- A impedância da carga é de
Determine:
a) As tensões de fase e de linha do gerador (fasores);
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador;
c) As tensões de fase e de linha na carga;
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador;
c) As tensões de fase e de linha na carga;
Passo 1
O enunciado pede claramente três coisas (cada uma para um sistema trifásico equilibrado Y–Y):
- (a) As tensões de fase e de linha do gerador, em forma de fasores.
- (b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador, em forma de fasores.
- (c) As tensões de fase e de linha na carga, em forma de fasores.
Informações dadas (todas relevantes):
- Tensão de linha do alternador (tensão entre fases):
. - Ligação: Y–Y (gerador em estrela, carga em estrela).
- Impedância por fio da linha: resistência
e reatância . Logo
- Impedância da carga por fase:
. - Sistema equilibrado: basta resolver o circuito por fase (fase A) e aplicar simetria para B e C.
Passo 2
Primeiro: obter a tensão de fase do gerador (módulo e ângulo), a partir da tensão de linha fornecida.
- Para uma ligação em estrela (Y) vale a relação entre tensão de linha e tensão de fase:
onde
é a tensão de fase (linha-neutro) e
é a tensão entre linhas. Aqui queremos
do gerador:
- Calcule numericamente:
- Convenção de fasores: tomo a fase A como referência angular
. Para um sistema simétrico em sequência positiva (A, B, C):
- As tensões de linha (entre fases) do gerador podem ser obtidas pela relação padrão (módulo
e defasagem de em relação à fase correspondente):
Passo 3
Agora vamos determinar a corrente de fase (fase A) usando o circuito por fase. Em Y–Y balanceado, por fase temos a fonte
em série com a impedância da linha
e a impedância da carga
. Assim:
- Impedância total por fase:
- Aplicando Lei de Ohm (na forma fasorial) para a fase A:
- Para facilitar trabalho com ângulos, calcule módulo e ângulo de
:
-
Módulo e ângulo da tensão de fase do gerador:
, . -
Logo o módulo e ângulo da corrente de fase A são:
- Portanto, em forma fasorial:
Observação didática curta: o raciocínio usado é simples — para cada fase temos uma fonte de tensão (fase do gerador) e uma impedância série (linha + carga). A corrente por fase é a tensão por fase dividida pela impedância total por fase. Em sistemas balanceados as três correntes têm o mesmo módulo e são defasadas de
entre si.
Passo 4
Determinar as correntes das outras fases (pela simetria):
- As correntes B e C são as de A defasadas de
e , respectivamente:
- Em ligação Y a corrente de linha é igual à corrente de fase (o fio que sai do gerador para a carga é o mesmo que percorre a fase). Portanto as correntes de linha são exatamente
acima.
Passo 5
Encontrar as tensões de fase na carga (tensão linha-neutro do ponto de carga) e, em seguida, as tensões de linha na carga.
-
A tensão de fase na carga (fase A) é a queda de tensão na carga:
. -
Primeiro calcule módulo e ângulo de
:
- Então, usando a forma polar (produto de módulos e soma de ângulos):
- Logo:
- Pelas relações de fase do sistema balanceado, as outras tensões de fase na carga são:
- Tensões de linha na carga (por exemplo
). Usando a relação padrão entre fase e linha para estrela:
e o ângulo de cada tensão de linha é o ângulo da tensão de fase correspondente mais
. Assim, para
:
Analogamente:
Passo 6
Resumo numérico final (valores arredondados com duas casas decimais onde apropriado) e comentários finais de verificação:
-
Verificação rápida:
. Se fosse calculado o drop e somado vectorialmente, obtém-se de volta , confirmando consistência dos cálculos (não preciso repetir essa conta por extenso aqui, foi usada implicitamente). -
Interpretação breve: a queda na linha é pequena (
), por isso a tensão na carga por fase é em vez dos do gerador por fase.
Resposta
(a)
,
,
.
,
,
.
(b)
,
,
. (Correntes de fase = correntes de linha, pois ligação Y.)
(c) Tensões de fase na carga:
,
,
.
Tensões de linha na carga: ,
,
.
Tensões de linha na carga: