[2,0 pontos] A Lei de Gauss e Lei de Coulomb, ambas relacionados com a eletrostática, são equivalentes pois, ao aplica-las num mesmo sistema, pode-se encontrar equações similares de alguma propriedade elétrica, como o campo clétrico Considere um sistema contendo apenas uma carga positiva +\boldsymbol{q}. Deduza, explicando em detalhes, como podemos encontrar o campo elétrico num ponto P a uma distância d da particula utilizando (a) [ 1,0 ponto] Lel de Coulomb e (b) (1,0 ponto) Lei de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o campo elétrico num ponto P que está a uma distância d de uma única carga puntiforme positiva +q. As informações dadas são:
  • Há somente uma carga puntiforme de valor +q.
  • O ponto P está a uma distância d dessa carga.
  • Precisa-se deduzir o campo elétrico em P usando duas abordagens distintas: (a) Lei de Coulomb e (b) Lei de Gauss.

Passo 2

Breve lembrança útil (fórmulas e conceitos que vamos usar na abordagem por Coulomb).
  • A Lei de Coulomb dá a força eletrostática entre duas cargas puntiformes q_1 e q_2 separadas por uma distância r:
\mathbf{F}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat r,
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante; unidades \text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)),
  • \hat r é o versor que aponta de uma carga até a outra (direção da força),
  • o fator 1/(4\pi\varepsilon_0) também é frequentemente escrito como k, a constante de Coulomb.
  • O campo elétrico \mathbf{E} em um ponto é definido como a força por unidade de carga de prova q_0 colocada naquele ponto:
\mathbf{E}=\dfrac{\mathbf{F}}{q_0}.
Explicação do porquê: o campo é a propriedade do espaço criada pela carga fonte q; ao colocar uma carga de prova q_0 essa carga sente a força \mathbf{F}, e dividindo por q_0 obtemos a propriedade independente da escolha de q_0.

Passo 3

Aplicando a Lei de Coulomb ao nosso caso:
  • Coloca-se hipoteticamente uma carga de prova q_0 no ponto P, à distância d da carga fonte +q.
  • A força sobre q_0 devido a q tem módulo
F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q\,q_0}{d^2},
e direção radial, apontando para fora da carga fonte porque q é positiva (uma carga positiva repele uma carga de prova positiva).
  • O campo elétrico em P é \mathbf{E}=\mathbf{F}/q_0. Assim, ao dividir pela q_0 os q_0 se cancelam e obtemos
\mathbf{E}(P)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{d^2}\,\hat r,
onde \hat r é o versor radial que aponta do centro da carga fonte até o ponto P. Em palavras: o campo tem módulo
E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{d^2}
e direção radial para fora (porque q>0). Unidade: \text{N/C} (ou \text{V/m}).

Passo 4

Observações e mini-aula sobre os termos usados em Coulomb:
  • Por que cancelou q_0? Porque o campo é uma propriedade do espaço gerado pela carga fonte; a força depende de quão grande é a carga de prova, mas o campo não.
  • O versor \hat r é definido assim: se a carga fonte está na origem e o ponto P tem vetor posição \mathbf{r}, então \hat r=\mathbf{r}/r com r=d.
  • A constante \varepsilon_0 numericamente vale aproximadamente \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2); às vezes se usa k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}988\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2.

Passo 5

Agora a abordagem pela Lei de Gauss. Primeiro a fórmula e o raciocínio físico:
  • A Lei de Gauss (no vácuo) diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada qualquer é igual à carga total encapsulada dividida por \varepsilon_0:
\oint_{\text{superf}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial (módulo igual à área elementar, direção normal à superfície e sentido para fora).
  • Para usar a Lei de Gauss é essencial escolher uma superfície gaussiana em que possamos facilmente calcular o fluxo. Aqui, com uma carga puntiforme no centro, a simetria é esférica: o campo elétrico deve ser radial e ter mesmo módulo em todos os pontos a uma distância fixa r da carga. Essa simetria justifica escolher uma superfície esférica centrada na carga com raio r=d.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss com a superfície esférica de raio r=d:
  • Pelo argumento da simetria, em cada ponto da esfera o campo tem direção radial e módulo constante E(d). O elemento de área vetorial é d\mathbf{A}=\hat r\,dA. Portanto o produto escalar é \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(d)\,dA.
  • O fluxo total é então
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(d)\oint dA=E(d)\cdot 4\pi d^2,
pois a área de uma esfera de raio d é 4\pi d^2.
  • A carga encapsulada pela esfera é Q_{\text{enc}}=q. Substituindo na Lei de Gauss:
E(d)\cdot 4\pi d^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E(d) obtemos
E(d)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,d^2}.
Em forma vetorial, com direção radial para fora:
\mathbf{E}(P)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{d^2}\,\hat r,
que coincide exatamente com o resultado obtido pela Lei de Coulomb.

Passo 7

Comentário didático final (quando usar cada método, vantagens):
  • A Lei de Coulomb é a forma direta que dá a força entre duas cargas; transformando força por unidade de carga de prova chegamos ao campo. É intuitiva para apenas uma ou poucas cargas puntiformes.
  • A Lei de Gauss é poderosa quando há simetrias (esférica, cilíndrica ou planar). Aqui a simetria esférica da carga puntiforme torna a aplicação de Gauss direta e simples; em problemas sem simetria útil a Lei de Gauss não facilita tanto.
  • Em problemas com várias cargas puntiformes, costuma-se usar superposição: o campo total é soma vetorial dos campos individuais (cada um calculado por Coulomb ou Gauss quando aplicável).
Força/ânimo rápido: deu trabalho, mas o resultado final é curto e bonito — e as duas leis batem certinho porque ambas descrevem a mesma física por ângulos diferentes!

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(P)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{d^2}\,\hat r
(b) \displaystyle \mathbf{E}(P)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{d^2}\,\hat r

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