[2,0 pontos] A Lei de Gauss e Lei de Coulomb, ambas relacionados com a eletrostática, são equivalentes pois, ao aplica-las num mesmo sistema, pode-se encontrar equações similares de alguma propriedade elétrica, como o campo clétrico Considere um sistema contendo apenas uma carga positiva
. Deduza, explicando em detalhes, como podemos encontrar o campo elétrico num ponto
a uma distância
da particula utilizando (a) [ 1,0 ponto] Lel de Coulomb e (b) (1,0 ponto) Lei de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o campo elétrico num ponto
que está a uma distância
de uma única carga puntiforme positiva
. As informações dadas são:
- Há somente uma carga puntiforme de valor
. - O ponto
está a uma distância dessa carga. - Precisa-se deduzir o campo elétrico em
usando duas abordagens distintas: (a) Lei de Coulomb e (b) Lei de Gauss.
Passo 2
Breve lembrança útil (fórmulas e conceitos que vamos usar na abordagem por Coulomb).
- A Lei de Coulomb dá a força eletrostática entre duas cargas puntiformes
e separadas por uma distância :
onde:
-
é a permissividade elétrica do vácuo (constante; unidades ), -
é o versor que aponta de uma carga até a outra (direção da força), - o fator
também é frequentemente escrito como , a constante de Coulomb. - O campo elétrico
em um ponto é definido como a força por unidade de carga de prova colocada naquele ponto:
Explicação do porquê: o campo é a propriedade do espaço criada pela carga fonte
; ao colocar uma carga de prova
essa carga sente a força
, e dividindo por
obtemos a propriedade independente da escolha de
.
Passo 3
Aplicando a Lei de Coulomb ao nosso caso:
- Coloca-se hipoteticamente uma carga de prova
no ponto , à distância da carga fonte . - A força sobre
devido a tem módulo
e direção radial, apontando para fora da carga fonte porque
é positiva (uma carga positiva repele uma carga de prova positiva).
- O campo elétrico em
é . Assim, ao dividir pela os se cancelam e obtemos
onde
é o versor radial que aponta do centro da carga fonte até o ponto
. Em palavras: o campo tem módulo
e direção radial para fora (porque
). Unidade:
(ou
).
Passo 4
Observações e mini-aula sobre os termos usados em Coulomb:
- Por que cancelou
? Porque o campo é uma propriedade do espaço gerado pela carga fonte; a força depende de quão grande é a carga de prova, mas o campo não. - O versor
é definido assim: se a carga fonte está na origem e o ponto tem vetor posição , então com . - A constante
numericamente vale aproximadamente ; às vezes se usa .
Passo 5
Agora a abordagem pela Lei de Gauss. Primeiro a fórmula e o raciocínio físico:
- A Lei de Gauss (no vácuo) diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada qualquer é igual à carga total encapsulada dividida por
:
onde
é o elemento de área vetorial (módulo igual à área elementar, direção normal à superfície e sentido para fora).
- Para usar a Lei de Gauss é essencial escolher uma superfície gaussiana em que possamos facilmente calcular o fluxo. Aqui, com uma carga puntiforme no centro, a simetria é esférica: o campo elétrico deve ser radial e ter mesmo módulo em todos os pontos a uma distância fixa
da carga. Essa simetria justifica escolher uma superfície esférica centrada na carga com raio .
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss com a superfície esférica de raio
:
- Pelo argumento da simetria, em cada ponto da esfera o campo tem direção radial e módulo constante
. O elemento de área vetorial é . Portanto o produto escalar é . - O fluxo total é então
pois a área de uma esfera de raio
é
.
- A carga encapsulada pela esfera é
. Substituindo na Lei de Gauss:
- Isolando
obtemos
Em forma vetorial, com direção radial para fora:
que coincide exatamente com o resultado obtido pela Lei de Coulomb.
Passo 7
Comentário didático final (quando usar cada método, vantagens):
- A Lei de Coulomb é a forma direta que dá a força entre duas cargas; transformando força por unidade de carga de prova chegamos ao campo. É intuitiva para apenas uma ou poucas cargas puntiformes.
- A Lei de Gauss é poderosa quando há simetrias (esférica, cilíndrica ou planar). Aqui a simetria esférica da carga puntiforme torna a aplicação de Gauss direta e simples; em problemas sem simetria útil a Lei de Gauss não facilita tanto.
- Em problemas com várias cargas puntiformes, costuma-se usar superposição: o campo total é soma vetorial dos campos individuais (cada um calculado por Coulomb ou Gauss quando aplicável).
Força/ânimo rápido: deu trabalho, mas o resultado final é curto e bonito — e as duas leis batem certinho porque ambas descrevem a mesma física por ângulos diferentes!
Resposta
(a)
(b)