9.42 • Uma corda leve e flexível é enrolada diversas vezes em torno da periferia de um cilindro oco com raio de
e massa igual a
, que gira sem atrito em torno de um eixo horizontal fixo. O cilindro é ligado ao eixo por meio de raios com momentos de inércia desprezíveis. O cilindro inicialmente está em repouso. A extremidade livre da corda é puxada com uma força constante
até uma distância de
; nesse ponto, a extremidade da corda se move a
. Sabendo que a corda não desliza sobre o cilindro, qual é o valor de
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Raio do cilindro:
. - Peso do cilindro:
. - Distância que a extremidade da corda é puxada:
. - Velocidade da extremidade da corda no final do deslocamento:
. - O cilindro parte do repouso.
- A corda não desliza sobre o cilindro (portanto a velocidade linear da corda é igual à velocidade tangencial da superfície do cilindro).
- O cilindro gira sem atrito e os raios que ligam o corpo ao eixo têm momento de inércia desprezível.
O enunciado pede: determinar o valor da força constante
aplicada na extremidade livre da corda.
Passo 2
Transformar o peso em massa, porque vamos precisar da massa do cilindro para calcular momento de inércia e energia cinética.
A relação entre peso
e massa
é
, onde
é a aceleração da gravidade. Tomando
,
Agora calculo numericamente:
(Arredondarei quando necessário no final; mantenho casas extras durante os cálculos para evitar erros de arredondamento.)
Passo 3
Relacionar a velocidade linear da corda com a velocidade angular do cilindro.
Se a corda não desliza, a velocidade linear da extremidade da corda é a velocidade tangencial da superfície do cilindro, dada por
onde
é a velocidade angular do cilindro. Portanto
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Momento de inércia do cilindro oco (casca fina) e energia cinética rotacional.
Para um cilindro oco fino de massa
e raio
, o momento de inércia em relação ao eixo central é
A energia cinética rotacional é
Substituindo
e usando
, obtemos uma forma muito prática:
Ou seja, para esse cilindro oco a energia rotacional final é numericamente igual à energia cinética translacional de uma massa
que se movesse com velocidade
. Isso é uma simplificação útil.
Passo 5
Calcular numericamente a energia cinética final.
Usando a expressão
,
Calculo passo a passo:
Passo 6
Relacionar trabalho realizado pela força
com a variação de energia cinética (Teorema do Trabalho e Energia).
A força
é constante e age durante o deslocamento
. O trabalho realizado por
é
Como não há atrito nem outras trocas de energia (o cilindro não se transfere de energia potencial), todo o trabalho
vai para a energia cinética rotacional final. Como o cilindro parte do repouso,
Logo
Substituindo os valores numéricos:
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados do enunciado):
Passo 7
Pequeno lembrete prático para a prova: a ideia-chave usada aqui é o Teorema do Trabalho-Energia para um corpo que gira sem atrito e sem deslizamento da corda, e a fórmula de momento de inércia do cilindro oco
. Uma maneira rápida de checar consistência é notar que, para um cilindro oco, a energia rotacional final se reduz a
, o que torna fácil dividir por
para achar
.
Força encontrada:
. Força pequena, dá pra puxar sem drama — continua firme, você está indo bem!