9.42 • Uma corda leve e flexível é enrolada diversas vezes em torno da periferia de um cilindro oco com raio de 0,25 \mathrm{~m} e massa igual a 40,0 \mathrm{~N}, que gira sem atrito em torno de um eixo horizontal fixo. O cilindro é ligado ao eixo por meio de raios com momentos de inércia desprezíveis. O cilindro inicialmente está em repouso. A extremidade livre da corda é puxada com uma força constante P até uma distância de 5,00 \mathrm{~m}; nesse ponto, a extremidade da corda se move a 6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que a corda não desliza sobre o cilindro, qual é o valor de P ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Raio do cilindro: R=0{,}25\\ \text{m}.
  • Peso do cilindro: W=40{,}0\\ \text{N}.
  • Distância que a extremidade da corda é puxada: s=5{,}00\\ \text{m}.
  • Velocidade da extremidade da corda no final do deslocamento: v=6{,}00\\ \text{m/s}.
  • O cilindro parte do repouso.
  • A corda não desliza sobre o cilindro (portanto a velocidade linear da corda é igual à velocidade tangencial da superfície do cilindro).
  • O cilindro gira sem atrito e os raios que ligam o corpo ao eixo têm momento de inércia desprezível.
O enunciado pede: determinar o valor da força constante P aplicada na extremidade livre da corda.

Passo 2

Transformar o peso em massa, porque vamos precisar da massa do cilindro para calcular momento de inércia e energia cinética.
A relação entre peso W e massa m é W=mg, onde g é a aceleração da gravidade. Tomando g=9{,}80\\ \text{m/s}^2,
m=\frac{W}{g}=\frac{40{,}0}{9{,}80}\\ \text{kg}.
Agora calculo numericamente:
m=\frac{40{,}0}{9{,}80}\approx 4{,}081632653\\ \text{kg}.
(Arredondarei quando necessário no final; mantenho casas extras durante os cálculos para evitar erros de arredondamento.)

Passo 3

Relacionar a velocidade linear da corda com a velocidade angular do cilindro.
Se a corda não desliza, a velocidade linear da extremidade da corda é a velocidade tangencial da superfície do cilindro, dada por
v=\omega R,
onde \omega é a velocidade angular do cilindro. Portanto
\omega=\frac{v}{R}.
Substituindo os valores dados:
\omega=\frac{6{,}00}{0{,}25}=24{,}0\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Momento de inércia do cilindro oco (casca fina) e energia cinética rotacional.
Para um cilindro oco fino de massa m e raio R, o momento de inércia em relação ao eixo central é
I=mR^{2}.
A energia cinética rotacional é
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I\omega^{2}.
Substituindo I=mR^{2} e usando \omega=v/R, obtemos uma forma muito prática:
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}mR^{2}\left(\frac{v}{R}\right)^{2}=\frac{1}{2}m v^{2}.
Ou seja, para esse cilindro oco a energia rotacional final é numericamente igual à energia cinética translacional de uma massa m que se movesse com velocidade v. Isso é uma simplificação útil.

Passo 5

Calcular numericamente a energia cinética final.
Usando a expressão \;K=\tfrac{1}{2}m v^{2}\;,
K=\frac{1}{2}\cdot 4{,}081632653\cdot (6{,}00)^{2}.
Calculo passo a passo:
(6{,}00)^{2}=36{,}0,
\frac{1}{2}\cdot 4{,}081632653=2{,}0408163265,
K=2{,}0408163265\cdot 36{,}0\approx 73{,}46938774\\ \text{J}.

Passo 6

Relacionar trabalho realizado pela força P com a variação de energia cinética (Teorema do Trabalho e Energia).
A força P é constante e age durante o deslocamento s. O trabalho realizado por P é
W_{P}=P s.
Como não há atrito nem outras trocas de energia (o cilindro não se transfere de energia potencial), todo o trabalho W_{P} vai para a energia cinética rotacional final. Como o cilindro parte do repouso,
P s = \Delta K = K.
Logo
P=\frac{K}{s}.
Substituindo os valores numéricos:
P=\frac{73{,}46938774}{5{,}00}\approx 14{,}69387755\\ \text{N}.
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados do enunciado):
P\approx 14{,}7\\ \text{N}.

Passo 7

Pequeno lembrete prático para a prova: a ideia-chave usada aqui é o Teorema do Trabalho-Energia para um corpo que gira sem atrito e sem deslizamento da corda, e a fórmula de momento de inércia do cilindro oco I=mR^{2}. Uma maneira rápida de checar consistência é notar que, para um cilindro oco, a energia rotacional final se reduz a \tfrac{1}{2} m v^{2}, o que torna fácil dividir por s para achar P.
Força encontrada: P\approx 14{,}7\\ \text{N}. Força pequena, dá pra puxar sem drama — continua firme, você está indo bem!

Resposta

P=14{,}7\\ \text{N}

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