9.51 • Uma placa metálica retangular fina de massa
tem lados com comprimentos
e
. Use o teorema dos eixos paralelos para determinar seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano da placa passando por um de seus vértices.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: uma placa metálica retangular fina de massa
e lados de comprimentos e . Pressupõe-se distribuição de massa uniforme sobre a placa (placa homogênea, espessura desprezível). - Pedido: determinar o momento de inércia da placa em relação a um eixo perpendicular ao plano da placa passando por um de seus vértices.
Resumo objetivo: calcular
do eixo perpendicular à placa que atravessa um vértice da retângulo.
Passo 2
Ideia geral e dados auxiliares que vamos usar.
- O momento de inércia de uma lâmina plana é a integral da distância ao eixo ao quadrado multiplicada pela densidade de massa: cada elemento de área
com massa contribui com onde é a distância ao eixo. - Para facilitar, primeiro vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular passando pelo centro da placa (o centróide). Esse valor é conhecido como
. Depois usaremos o teorema dos eixos paralelos para deslocar o eixo do centro até o vértice. - Densidade superficial de massa (massa por unidade de área):
. - Escolhemos um sistema de eixos no plano da placa com origem no centro:
ao longo do lado de comprimento e ao longo do lado de comprimento . Então o retângulo ocupa e .
Passo 3
Cálculo de
por integração.
- Cada elemento de área é
e seu massa é . - A distância ao eixo perpendicular que passa pelo centro é
. Portanto
Separamos a integral usando linearidade:
Passo 4
Avaliação das integrais elementares.
- Calcule
.
- Calcule
- Calcule
e
Substituindo em
:
Passo 5
Aplicação do teorema dos eixos paralelos para obter
no vértice.
- Teorema dos eixos paralelos: se
é o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e queremos o momento de inércia em um eixo paralelo a uma distância do centro, então
Aqui
.
- Distância
do centro (origem) até o vértice do retângulo: o vértice está em , então
- Agora aplicar o teorema:
Colocando em comum denominador: