9.51 • Uma placa metálica retangular fina de massa M tem lados com comprimentos a e b. Use o teorema dos eixos paralelos para determinar seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano da placa passando por um de seus vértices.
M\left(a^{2}+b^{2}\right) / 3

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: uma placa metálica retangular fina de massa M e lados de comprimentos a e b. Pressupõe-se distribuição de massa uniforme sobre a placa (placa homogênea, espessura desprezível).
  • Pedido: determinar o momento de inércia da placa em relação a um eixo perpendicular ao plano da placa passando por um de seus vértices.
Resumo objetivo: calcular I do eixo perpendicular à placa que atravessa um vértice da retângulo.

Passo 2

Ideia geral e dados auxiliares que vamos usar.
  • O momento de inércia de uma lâmina plana é a integral da distância ao eixo ao quadrado multiplicada pela densidade de massa: cada elemento de área dA com massa dm contribui com r^{2}\,dm onde r é a distância ao eixo.
  • Para facilitar, primeiro vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular passando pelo centro da placa (o centróide). Esse valor é conhecido como I_{\text{centro}}. Depois usaremos o teorema dos eixos paralelos para deslocar o eixo do centro até o vértice.
  • Densidade superficial de massa (massa por unidade de área): \sigma = \dfrac{M}{ab}.
  • Escolhemos um sistema de eixos no plano da placa com origem no centro: x ao longo do lado de comprimento a e y ao longo do lado de comprimento b. Então o retângulo ocupa -\dfrac{a}{2}\le x\le\dfrac{a}{2} e -\dfrac{b}{2}\le y\le\dfrac{b}{2}.

Passo 3

Cálculo de I_{\text{centro}} por integração.
  • Cada elemento de área é dA = dx\,dy e seu massa é dm=\sigma\,dA=\dfrac{M}{ab}\,dx\,dy.
  • A distância ao eixo perpendicular que passa pelo centro é r^{2}=x^{2}+y^{2}. Portanto
I_{\text{centro}}=\iint (x^{2}+y^{2})\,dm
I_{\text{centro}}=\dfrac{M}{ab}\iint_{-a/2}^{a/2}\limits_{-b/2}^{b/2} (x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
Separamos a integral usando linearidade:
I_{\text{centro}}=\dfrac{M}{ab}\left(\int_{-a/2}^{a/2}x^{2}\,dx\cdot\int_{-b/2}^{b/2}dy \;+\; \int_{-b/2}^{b/2}y^{2}\,dy\cdot\int_{-a/2}^{a/2}dx\right).

Passo 4

Avaliação das integrais elementares.
  • Calcule \displaystyle \int_{-a/2}^{a/2}x^{2}\,dx.
\int_{-a/2}^{a/2}x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{a/2}x^{2}\,dx = 2\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a/2} = 2\cdot\dfrac{(a/2)^{3}}{3} = \dfrac{a^{3}}{12}.
  • Calcule \displaystyle \int_{-b/2}^{b/2}y^{2}\,dy = \dfrac{b^{3}}{12}.
  • Calcule \displaystyle \int_{-a/2}^{a/2}dx = a e \displaystyle \int_{-b/2}^{b/2}dy = b.
Substituindo em I_{\text{centro}}:
I_{\text{centro}}=\dfrac{M}{ab}\left(\dfrac{a^{3}}{12}\cdot b \;+\; \dfrac{b^{3}}{12}\cdot a\right).
I_{\text{centro}}=\dfrac{M}{ab}\cdot \dfrac{ab\,(a^{2}+b^{2})}{12} = \dfrac{M\left(a^{2}+b^{2}\right)}{12}.

Passo 5

Aplicação do teorema dos eixos paralelos para obter I no vértice.
  • Teorema dos eixos paralelos: se I_{\text{CM}} é o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e queremos o momento de inércia I em um eixo paralelo a uma distância d do centro, então
I = I_{\text{CM}} + M d^{2}.
Aqui I_{\text{CM}}=I_{\text{centro}}=\dfrac{M\left(a^{2}+b^{2}\right)}{12}.
  • Distância d do centro (origem) até o vértice do retângulo: o vértice está em x=\dfrac{a}{2},\; y=\dfrac{b}{2}, então
d^{2}=\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{4}.
  • Agora aplicar o teorema:
I_{\text{vértice}} = \dfrac{M\left(a^{2}+b^{2}\right)}{12} + M\cdot \dfrac{a^{2}+b^{2}}{4}.é
Colocando em comum denominador:
I_{\text{vértice}} = M\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4}\right)=M\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\dfrac{1}{12}+\dfrac{3}{12}\right).é
I_{\text{vértice}} = M\left(a^{2}+b^{2}\right)\cdot\dfrac{4}{12} = \dfrac{M\left(a^{2}+b^{2}\right)}{3}.é

Resposta

\dfrac{M\left(a^{2}+b^{2}\right)}{3}

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