[2 pontos] Possuimos a seguinte informação sobre o número de alfabetizados de uma região de 100 mil pessoas:
Estrato
Grupo etário
Número de pessoas
Proporção de alfabetizados
1
15 a 24
25000
0.5
2
25 a 34
20000
0.3
3
35 a 49
40000
0.1
4
50 ou mais
15000
0.01
Queremos planejar uma amostra para, daqui 10 anos, após um programa de alfabetização, estimar a proporção de alfabetizados.
| Estrato | Grupo etário | Número de pessoas | Proporção de alfabetizados |
| 1 | 15 a 24 | 25000 | 0.5 |
| 2 | 25 a 34 | 20000 | 0.3 |
| 3 | 35 a 49 | 40000 | 0.1 |
| 4 | 50 ou mais | 15000 | 0.01 |
Passo 1
O enunciado dá os tamanhos dos estratos e as proporções atuais de alfabetizados numa população de
pessoas e pede que planejemos uma amostra para, daqui a 10 anos, estimar a proporção de alfabetizados. Dados fornecidos (retirei diretamente da tabela do enunciado):
O objetivo é obter um plano de amostragem (tamanho total e alocação por estrato) para estimar a proporção global de alfabetizados no futuro. O enunciado não especifica o nível de confiança nem a margem de erro desejada; portanto vou adotar escolhas padrão, explicando-as e mostrando como mudar se você preferir:
- nível de confiança
%, ou seja ; - erro máximo tolerável (metade da largura do intervalo)
(2 pontos percentuais).
Se você quiser outro
ou outro nível de confiança, o procedimento é o mesmo — eu só precisaria recalcular com os novos números (não vou pedir isso, adotei os valores acima para poder planejar a amostra).
Passo 2
Vamos explicar a teoria necessária, de forma prática e sem pular etapas.
- O que é a estimativa que queremos: a proporção global de alfabetizados
, na população. Em amostragem estratificada, o estimador pontual usual é a média ponderada das proporções estrato a estrato:
onde
-
é o número de estratos (aqui ); -
é o tamanho do estrato na população; -
é o tamanho total da população (aqui ); -
é a proporção observada no estrato na amostra.
- Variância do estimador estratificado (sem considerar correção por desenho complexo): a variância aproximada de
é
onde
-
é a variância dentro do estrato (para variável indicadora de alfabetização, ); -
é o tamanho da amostra no estrato .
- Alocação de Neyman (alocação ótima para minimizar a variância para um dado
): define-se
Essa alocação dá mais amostras aos estratos que são maiores (
grande) e/ou mais heterogêneos (
grande).
- Fórmula útil para calcular o
total quando usamos alocação de Neyman (sem FPC para simplificar): a variância total sob Neyman leva a
Queremos que o erro máximo
satisfaça
então isolando
obtemos a fórmula prática
Observação: existe um fator de correção por população finita
, mas quando
é grande e
pequeno em relação a
(como aqui), esse fator é quase
e pode ser desprezado para escolher
inicialmente.
Passo 3
Calculemos os quantidades necessárias usando os dados fornecidos. Primeiro a proporção atual global (para termos uma ideia):
Agora calculo passo a passo os termos:
Somando:
Portanto
(Isto é só para referência — usamos
para estimar as dispersões dentro dos estratos.)
Agora calculemos
para cada estrato e
:
Estrato 1:
Estrato 2:
Estrato 3:
Estrato 4:
Somando os
:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula para
com
,
,
:
Calculemos numericamente (mostrando as etapas):
Assim:
Arredondamos para cima (sempre arredondar para cima o tamanho da amostra para garantir o erro desejado):
Observação: se incluirmos a correção por população finita
teríamos um ajuste muito pequeno porque
; o efeito sobre
é desprezível neste caso.
Passo 5
Agora calculamos a alocação por estrato usando a alocação de Neyman:
Usando
e os
calculados:
Estrato 1:
Estrato 2:
Estrato 3:
Estrato 4:
Verificação da soma:
ou seja, bate com
.
Passo 6
Comentários práticos e alternativas (rápidos e úteis):
- Se você preferir alocação proporcional (mais simples), use
, o que daria por exemplo , , , . A alocação de Neyman é melhor quando estratos têm variâncias diferentes (como aqui), porque reduz a variância do estimador para o mesmo . - Se você quiser outra precisão (por ex.
ou nível ), é só trocar e na fórmula do Passo 4 e recalcular; o processo é o mesmo. - Recomendo usar a alocação de Neyman (como fiz) para economizar custo mantendo precisão, pois ela concentra amostra em estratos com mais heterogeneidade.
Resposta
Tamanho total da amostra planejada:
.\nAlocação por estrato (Neyman): Estrato 1:
.\nEstrato 2:
.\nEstrato 3:
.\nEstrato 4:
.