[2 pontos] Possuimos a seguinte informação sobre o número de alfabetizados de uma região de 100 mil pessoas:
Estrato Grupo etário Número de pessoas Proporção de alfabetizados
1 15 a 24 25000 0.5
2 25 a 34 20000 0.3
3 35 a 49 40000 0.1
4 50 ou mais 15000 0.01
Queremos planejar uma amostra para, daqui 10 anos, após um programa de alfabetização, estimar a proporção de alfabetizados.

Passo 1

O enunciado dá os tamanhos dos estratos e as proporções atuais de alfabetizados numa população de 100000 pessoas e pede que planejemos uma amostra para, daqui a 10 anos, estimar a proporção de alfabetizados. Dados fornecidos (retirei diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Estrato} & \text{Grupo etário} & N_h & p_h \\\ \hline 1 & 15\text{ a }24 & 25000 & 0,5\\\\ 2 & 25\text{ a }34 & 20000 & 0,3\\\\ 3 & 35\text{ a }49 & 40000 & 0,1\\\\ 4 & 50\text{ ou mais} & 15000 & 0,01 \end{array}
O objetivo é obter um plano de amostragem (tamanho total e alocação por estrato) para estimar a proporção global de alfabetizados no futuro. O enunciado não especifica o nível de confiança nem a margem de erro desejada; portanto vou adotar escolhas padrão, explicando-as e mostrando como mudar se você preferir:
  • nível de confiança 95%, ou seja Z=1,96;
  • erro máximo tolerável (metade da largura do intervalo) E=0,02 (2 pontos percentuais).
Se você quiser outro E ou outro nível de confiança, o procedimento é o mesmo — eu só precisaria recalcular com os novos números (não vou pedir isso, adotei os valores acima para poder planejar a amostra).

Passo 2

Vamos explicar a teoria necessária, de forma prática e sem pular etapas.
  1. O que é a estimativa que queremos: a proporção global de alfabetizados \,P, na população. Em amostragem estratificada, o estimador pontual usual é a média ponderada das proporções estrato a estrato:
\hat{P}=\sum_{h=1}^{L}\frac{N_h}{N}\hat{p}_h,
onde
  • L é o número de estratos (aqui L=4);
  • N_h é o tamanho do estrato h na população;
  • N=\sum_h N_h é o tamanho total da população (aqui N=100000);
  • \hat{p}_h é a proporção observada no estrato h na amostra.
  1. Variância do estimador estratificado (sem considerar correção por desenho complexo): a variância aproximada de \hat{P} é
\operatorname{Var}(\hat{P})\approx\sum_{h=1}^{L}\left(\frac{N_h}{N}\right)^2\frac{S_h^2}{n_h},
onde
  • S_h^2 é a variância dentro do estrato h (para variável indicadora de alfabetização, S_h^2=p_h(1-p_h));
  • n_h é o tamanho da amostra no estrato h.
  1. Alocação de Neyman (alocação ótima para minimizar a variância para um dado n=\sum_h n_h): define-se
n_h = n\cdot\frac{N_h S_h}{\sum_{k=1}^L N_k S_k}.
Essa alocação dá mais amostras aos estratos que são maiores ( N_h grande) e/ou mais heterogêneos ( S_h grande).
  1. Fórmula útil para calcular o n total quando usamos alocação de Neyman (sem FPC para simplificar): a variância total sob Neyman leva a
\operatorname{Var}(\hat{P}) \approx \frac{1}{n}\cdot\frac{\left(\sum_{h=1}^L N_h S_h\right)^2}{N^2}.
Queremos que o erro máximo E satisfaça
Z\sqrt{\operatorname{Var}(\hat{P})}\le E,
então isolando n obtemos a fórmula prática
n \approx \frac{Z^2\left(\sum_{h=1}^L N_h S_h\right)^2}{N^2 E^2}.
Observação: existe um fator de correção por população finita (1-n/N), mas quando N é grande e n pequeno em relação a N (como aqui), esse fator é quase 1 e pode ser desprezado para escolher n inicialmente.

Passo 3

Calculemos os quantidades necessárias usando os dados fornecidos. Primeiro a proporção atual global (para termos uma ideia):
\hat{P}_{\text{atual}}=\frac{1}{N}\sum_{h}N_h p_h =\frac{25000\cdot 0,5 + 20000\cdot 0,3 + 40000\cdot 0,1 + 15000\cdot 0,01}{100000}.
Agora calculo passo a passo os termos:
25000\cdot 0,5 = 12500,
20000\cdot 0,3 = 6000,
40000\cdot 0,1 = 4000,
15000\cdot 0,01 = 150.
Somando:
12500+6000+4000+150=22650.
Portanto
\hat{P}_{\text{atual}}=\frac{22650}{100000}=0,2265.
(Isto é só para referência — usamos p_h para estimar as dispersões dentro dos estratos.)
Agora calculemos S_h=\sqrt{p_h(1-p_h)} para cada estrato e N_h S_h:
Estrato 1:
p_1=0,5\quad\Rightarrow\quad S_1=\sqrt{0,5\cdot 0,5}=0,5,
N_1 S_1=25000\cdot 0,5=12500.
Estrato 2:
p_2=0,3\quad\Rightarrow\quad S_2=\sqrt{0,3\cdot 0,7}=\sqrt{0,21}\approx 0,4583,
N_2 S_2 \approx 20000\cdot 0,4583 \approx 9165{,}14.
Estrato 3:
p_3=0,1\quad\Rightarrow\quad S_3=\sqrt{0,1\cdot 0,9}=\sqrt{0,09}=0,3,
N_3 S_3=40000\cdot 0,3=12000.
Estrato 4:
p_4=0,01\quad\Rightarrow\quad S_4=\sqrt{0,01\cdot 0,99}\approx 0,099499,
N_4 S_4 \approx 15000\cdot 0,099499 \approx 1492{,}48.
Somando os N_h S_h:
\sum_{h=1}^4 N_h S_h \approx 12500 + 9165{,}14 + 12000 + 1492{,}48 \approx 35157{,}62.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para n com Z=1,96, E=0,02, N=100000:
n \approx \frac{Z^2\left(\sum_{h}N_h S_h\right)^2}{N^2 E^2} = \frac{1{,}96^2\cdot (35157{,}62)^2}{(100000)^2\cdot 0{,}02^2}.
Calculemos numericamente (mostrando as etapas):
Z^2=1{,}96^2=3{,}8416,
(35157{,}62)^2\approx 1\,236\,058\,244{,}06,
N^2 E^2 = (100000)^2\cdot 0{,}0004 = 10^{10}\cdot 0{,}0004 = 4\,000\,000.
Assim:
n \approx \frac{3{,}8416\cdot 1\,236\,058\,244{,}06}{4\,000\,000}\approx 1187{,}11.
Arredondamos para cima (sempre arredondar para cima o tamanho da amostra para garantir o erro desejado):
n=1188.
Observação: se incluirmos a correção por população finita (1-n/N) teríamos um ajuste muito pequeno porque n/N\approx 0{,}0119; o efeito sobre n é desprezível neste caso.

Passo 5

Agora calculamos a alocação por estrato usando a alocação de Neyman:
n_h = n\cdot\frac{N_h S_h}{\sum_k N_k S_k}.
Usando n=1188 e os N_h S_h calculados:
Estrato 1:
n_1 = 1188\cdot\frac{12500}{35157{,}62}\approx 1188\cdot 0{,}3555 \approx 421{,}8 \to 422.
Estrato 2:
n_2 = 1188\cdot\frac{9165{,}14}{35157{,}62}\approx 1188\cdot 0{,}2606 \approx 309{,}7 \to 310.
Estrato 3:
n_3 = 1188\cdot\frac{12000}{35157{,}62}\approx 1188\cdot 0{,}3413 \approx 405{,}3 \to 405.
Estrato 4:
n_4 = 1188\cdot\frac{1492{,}48}{35157{,}62}\approx 1188\cdot 0{,}04244 \approx 50{,}4 \to 51.
Verificação da soma:
422+310+405+51=1188,
ou seja, bate com n.

Passo 6

Comentários práticos e alternativas (rápidos e úteis):
  • Se você preferir alocação proporcional (mais simples), use n_h=n\cdot N_h/N, o que daria por exemplo n_1=297, n_2=238, n_3=475, n_4=178. A alocação de Neyman é melhor quando estratos têm variâncias diferentes (como aqui), porque reduz a variância do estimador para o mesmo n.
  • Se você quiser outra precisão (por ex. E=0{,}01 ou nível 99\%), é só trocar E e Z na fórmula do Passo 4 e recalcular; o processo é o mesmo.
  • Recomendo usar a alocação de Neyman (como fiz) para economizar custo mantendo precisão, pois ela concentra amostra em estratos com mais heterogeneidade.

Resposta

Tamanho total da amostra planejada: 1188.\nAlocação por estrato (Neyman): Estrato 1: 422.\nEstrato 2: 310.\nEstrato 3: 405.\nEstrato 4: 51.

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