[2 pontos] Estuda-se o uso de amostragem para estimar o valor total (em reais) de itens em estoque de uma empresa com 870 itens. O levantamento das 36 prateleiras de um dos armazéns apresentou os seguintes valores (em R$): 29,38,42,44,45,47,51,53,53,54,56,56, 58,58,59,60,60,60,60,61,61,61,62,64,65,67,67,68,69,71,72,74, 74, 77, 82 e 85. Ao usar esses dados como preliminares, um erro inferior a R$ 200 para o total do armazém com 95 \% de confiança é bastante aceitável. Calcule o tamanho da amostra para estimar o total (\tau) ao considerar AASc e AASs e compare as duas formas. Apresente todos os cálculos para chegar na expressão do tamanho da amostra quando objetivo é estimar \tau.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o tamanho da amostra necessário para estimar o total do valor do estoque \tau com erro absoluto máximo E=R\$\,200 e nível de confiança 95\%, usando os dados preliminares das 36 prateleiras como amostra piloto.
Dados relevantes fornecidos no enunciado (usei exatamente os valores apresentados): 29,38,42,44,45,47,51,53,53,54,56,56,58,58,59,60,60,60,60,61,61,61,62,64,65,67,67,68,69,71,72,74,74,77,82,85.
Outras quantidades conhecidas: o total de itens na população é N=870, o tamanho da amostra piloto é n_0=36, o erro desejado é E=200 (reais) e o nível de confiança 95\% implica z_{0,025}=1{,}96.
O objetivo final: calcular n para (i) AASs (amostragem aleatória simples sem correção para população finita) e (ii) AASc (AAS com correção para população finita, i.e. incluindo fator de correção fpc).

Passo 2

Vou explicar a teoria necessária (com calma) antes de aplicar aos números.
  1. Estimador do total e sua variância. Se a amostra aleatória simple de tamanho n fornece média amostral \bar{x}, o estimador natural do total é
\hat{\tau}=N\bar{x}.
A variância de \hat{\tau} depende se incluímos ou não fator de correção para população finita:
  • sem correção (AASs, tratamento como população muito grande): \mathrm{Var}(\hat{\tau}) = N^2\frac{S^2}{n},onde S^2 é a variância populacional das unidades (valor por item).
  • com correção (AASc, fpc): \mathrm{Var}(\hat{\tau}) = N^2\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{S^2}{n}.
Explicação curta do que cada símbolo significa:
  • N: tamanho da população ( 870);
  • n: tamanho da amostra que queremos calcular;
  • S^2: variância verdadeira da população (desconhecida, será estimada pela amostra piloto);
  • \mathrm{Var}(\hat{\tau}): variância do estimador do total \hat{\tau}.
  1. Relação margem de erro E com variância. Para confiança 1-\alpha (aqui 95\%), o erro máximo absoluto (meio do intervalo) é
E = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\mathrm{Var}(\hat{\tau})}.
Substituindo a expressão de \mathrm{Var}(\hat{\tau}) obtemos equações que podemos resolver para n.
  1. Fórmulas resolvidas para n.
  • Para AASs (sem fpc), a equação dá:
E = z\;N\sqrt{\dfrac{S^2}{n}}\quad\Rightarrow\quad n = \dfrac{z^2\,N^2\,S^2}{E^2}.
  • Para AASc (com fpc), começamos por
E = z\;N\sqrt{\left(1-\dfrac{n}{N}\right)\dfrac{S^2}{n}}.
Elevando ao quadrado e isolando n obtemos (passo algébrico importante):
E^2 n = z^2 N^2 S^2 \left(1-\frac{n}{N}\right) = z^2 N^2 S^2 - z^2 N S^2\,n.
Reagrupando os termos em n:
n\left(E^2 + z^2 N S^2\right) = z^2 N^2 S^2,
portanto
n = \dfrac{z^2 N^2 S^2}{E^2 + z^2 N S^2}.
Esta é a fórmula fechada para o tamanho de amostra com fpc.
  1. Como S^2 é desconhecida usamos a variância amostral s^2 da amostra piloto de tamanho n_0 como estimativa de S^2. A variância amostral usada é a usual com divisor n_0-1:
s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n_0} x_i^2 - n_0\bar{x}^2}{n_0-1}.

Passo 3

Calculei as estatísticas da amostra piloto (usei todos os 36 valores dados).
  1. Soma dos valores e média amostral:
\sum_{i=1}^{36} x_i = 2174,
logo
\bar{x}=\dfrac{2174}{36}= \dfrac{1087}{18}\approx 60{,}3889.
  1. Soma dos quadrados (calculei x_i^2 e somei):
\sum_{i=1}^{36} x_i^2 = 134981.
  1. Variância amostral:
s^2=\dfrac{\sum x_i^2 - n_0\bar{x}^2}{n_0-1} =\dfrac{134981 - 36\cdot\left(\dfrac{1087}{18}\right)^2}{35}.
Calculei numericamente:
36\cdot\bar{x}^2 = 36\cdot\frac{1087^2}{18^2} \approx 131285{,}448,
portanto
s^2 \approx \dfrac{134981 - 131285{,}448}{35} \approx \dfrac{3695{,}552}{35} \approx 105{,}5872.
O desvio padrão amostral é s\approx 10{,}277.
Resumo numérico da piloto que usarei nas fórmulas: \bar{x}\approx 60{,}3889, s^2\approx 105{,}5872.

Passo 4

Agora aplico as fórmulas do Passo 2 com N=870, E=200, z=1{,}96 e S^2\approx s^2=105{,}5872.
  1. AASs (sem fpc). Fórmula:
n_{\text{AASs}}=\dfrac{z^2 N^2 s^2}{E^2}.
Substituindo números:
z^2 = 1{,}96^2 = 3{,}8416,\qquad N^2=870^2=756900,\qquad E^2=200^2=40000.
Calculei o numerador:
z^2 N^2 s^2 \approx 3{,}8416\times 756900\times 105{,}5872 \approx 307016645{,}8.
Logo
n_{\text{AASs}}\approx \dfrac{307016645{,}8}{40000}\approx 7675{,}4161.
Interpretação: esse n exigido é muito maior que o tamanho da população N=870; portanto, usando a fórmula sem fpc o cálculo indica que seria preciso \approx 7676 unidades — o que é impossível porque n não pode exceder N. Na prática isso significa que, sem considerar fpc, o erro desejado é tão pequeno que apenas um censo (amostrar toda a população) atinge a precisão. Portanto, para AASs a conclusão prática é: realizar censo n=N=870 (ou então aceitar erro maior).

Passo 5

  1. AASc (com fpc). Fórmula (da dedução algébrica do Passo 2):
n_{\text{AASc}}=\dfrac{z^2 N^2 s^2}{E^2 + z^2 N s^2}.
Substituindo os números:
z^2 N s^2 \approx 3{,}8416\times 870\times 105{,}5872 \approx 352892{,}6952.
Então o denominador é
E^2 + z^2 N s^2 \approx 40000 + 352892{,}6952 = 392892{,}6952.
E o numerador já tínhamos (passo anterior)
z^2 N^2 s^2 \approx 307016645{,}8.
Portanto
n_{\text{AASc}} \approx \dfrac{307016645{,}8}{392892{,}6952}\approx 781{,}43.
Como n deve ser inteiro e devemos arredondar para cima para garantir a precisão desejada, tomamos
n_{\text{AASc}} = 782.

Passo 6

Comparação e interpretação final (curta e direta):
  • AASs (sem fpc) deu n\approx 7675, muito maior que a população N=870. Isso significa que, se ignorarmos a correção para população finita, a precisão pedida exige efetivamente censar a população; na prática devemos tomar n=N=870 ou relaxar E.
  • AASc (com fpc) caiu em uma solução consistente com N: n\approx 781{,}43, ou seja n=782 amostras. Ainda é uma amostra muito grande (quase toda a população), mas viável e consistente com o fato da população ser limitada.
Motivação intuitiva: quando N é relativamente pequeno e a precisão E exigida é muito restrita, o fpc reduz consideravelmente o tamanho necessário em comparação com o modelo sem fpc; contudo, se a variância é relativamente alta ou E é pequeno, o número necessário pode ficar próximo de N.

Resposta

\text{AASc: } n \approx 782.
\text{AASs: } n \approx 7675{,}4\;(\!>\!870\Rightarrow\;\text{praticamente censo: }n=870).

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