[2 pontos] Estuda-se o uso de amostragem para estimar o valor total (em reais) de itens em estoque de uma empresa com 870 itens. O levantamento das 36 prateleiras de um dos armazéns apresentou os seguintes valores (em R$):
,
, 74, 77, 82 e 85. Ao usar esses dados como preliminares, um erro inferior a R$ 200 para o total do armazém com
de confiança é bastante aceitável. Calcule o tamanho da amostra para estimar o total
ao considerar AASc e AASs e compare as duas formas. Apresente todos os cálculos para chegar na expressão do tamanho da amostra quando objetivo é estimar
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o tamanho da amostra necessário para estimar o total do valor do estoque
com erro absoluto máximo
e nível de confiança
, usando os dados preliminares das
prateleiras como amostra piloto.
Dados relevantes fornecidos no enunciado (usei exatamente os valores apresentados):
Outras quantidades conhecidas: o total de itens na população é
, o tamanho da amostra piloto é
, o erro desejado é
(reais) e o nível de confiança
implica
.
O objetivo final: calcular para (i) AASs (amostragem aleatória simples sem correção para população finita) e (ii) AASc (AAS com correção para população finita, i.e. incluindo fator de correção fpc).
O objetivo final: calcular
Passo 2
Vou explicar a teoria necessária (com calma) antes de aplicar aos números.
- Estimador do total e sua variância. Se a amostra aleatória simple de tamanho
fornece média amostral , o estimador natural do total é
A variância de
depende se incluímos ou não fator de correção para população finita:
- sem correção (AASs, tratamento como população muito grande):
onde é a variância populacional das unidades (valor por item). - com correção (AASc, fpc):
Explicação curta do que cada símbolo significa:
-
: tamanho da população ( ); -
: tamanho da amostra que queremos calcular; -
: variância verdadeira da população (desconhecida, será estimada pela amostra piloto); -
: variância do estimador do total .
- Relação margem de erro
com variância. Para confiança (aqui ), o erro máximo absoluto (meio do intervalo) é
Substituindo a expressão de
obtemos equações que podemos resolver para
.
- Fórmulas resolvidas para
.
- Para AASs (sem fpc), a equação dá:
- Para AASc (com fpc), começamos por
Elevando ao quadrado e isolando
obtemos (passo algébrico importante):
Reagrupando os termos em
:
portanto
Esta é a fórmula fechada para o tamanho de amostra com fpc.
- Como
é desconhecida usamos a variância amostral da amostra piloto de tamanho como estimativa de . A variância amostral usada é a usual com divisor :
Passo 3
Calculei as estatísticas da amostra piloto (usei todos os
valores dados).
- Soma dos valores e média amostral:
logo
- Soma dos quadrados (calculei
e somei):
- Variância amostral:
Calculei numericamente:
portanto
O desvio padrão amostral é
.
Resumo numérico da piloto que usarei nas fórmulas:
,
.
Passo 4
Agora aplico as fórmulas do Passo 2 com
,
,
e
.
- AASs (sem fpc). Fórmula:
Substituindo números:
Calculei o numerador:
Logo
Interpretação: esse
exigido é muito maior que o tamanho da população
; portanto, usando a fórmula sem fpc o cálculo indica que seria preciso
unidades — o que é impossível porque
não pode exceder
. Na prática isso significa que, sem considerar fpc, o erro desejado é tão pequeno que apenas um censo (amostrar toda a população) atinge a precisão. Portanto, para AASs a conclusão prática é: realizar censo
(ou então aceitar erro maior).
Passo 5
- AASc (com fpc). Fórmula (da dedução algébrica do Passo 2):
Substituindo os números:
Então o denominador é
E o numerador já tínhamos (passo anterior)
Portanto
Como
deve ser inteiro e devemos arredondar para cima para garantir a precisão desejada, tomamos
Passo 6
Comparação e interpretação final (curta e direta):
- AASs (sem fpc) deu
, muito maior que a população . Isso significa que, se ignorarmos a correção para população finita, a precisão pedida exige efetivamente censar a população; na prática devemos tomar ou relaxar . - AASc (com fpc) caiu em uma solução consistente com
: , ou seja amostras. Ainda é uma amostra muito grande (quase toda a população), mas viável e consistente com o fato da população ser limitada.
Motivação intuitiva: quando
é relativamente pequeno e a precisão
exigida é muito restrita, o fpc reduz consideravelmente o tamanho necessário em comparação com o modelo sem fpc; contudo, se a variância é relativamente alta ou
é pequeno, o número necessário pode ficar próximo de
.