[2 pontos] Os estimadores \hat{\sigma}^{2} e s^{2} são viciados para estimar \sigma^{2} em cenário AASs? Eles são viciados para estimar \tilde{\sigma}^{2} ?
Lembre-se que \hat{\sigma}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} / n e s^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} /(n-1). Os parâmetros são: \sigma^{2}=\sum_{i=1}^{N}\left(Y_{i}-\mu\right)^{2} / N e \tilde{\sigma}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\left(Y_{i}-\mu\right)^{2} /(N-1).

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claras:
  1. Os estimadores \hat{\sigma}^{2} e s^{2} são viciados ao estimar \sigma^{2}?
  2. Os mesmos estimadores são viciados ao estimar \tilde{\sigma}^{2}?
Informações dadas (vou copiar exatamente as definições do enunciado):
\hat{\sigma}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} / n.
s^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} /(n-1).
\sigma^{2}=\sum_{i=1}^{N}\left(Y_{i}-\mu\right)^{2} / N.
\tilde{\sigma}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\left(Y_{i}-\mu\right)^{2} /(N-1).
Condição implícita: estamos em AASs (amostra aleatória simples sem reposição) de tamanho n retirada de uma população finita de tamanho N. Não começo a calcular ainda — só listei o que é pedido e o que é dado.

Passo 2

Primeiro passo técnico que usamos sempre: escrever a soma de quadrados relative à média amostral em termos da média populacional. Defina
T \equiv \sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\bar{Y})^{2}.
Usamos a identidade algébrica (explicar porque ela é útil):
\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\bar{Y})^{2}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu)^{2}-n(\bar{Y}-\mu)^{2}.
Intuição: dispersão em torno da média amostral = dispersão em torno da média populacional menos o pedaço que foi “explicado” ao centrar pela média amostral. Vamos tomar expectativa em ambos os lados.

Passo 3

Calcular E\!\left[\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu)^{2}\right].
Como a amostra é aleatória simples sem reposição, a esperança do quadrado de qualquer observação amostrada é a média dos quadrados na população. Logo a esperança da soma sobre as n observações é
E\!\left[\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu)^{2}\right]=n\cdot\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}(Y_{j}-\mu)^{2}=n\sigma^{2}.
Isso é direto: estamos apenas escolhendo n elementos ao acaso sem reposição, então a média esperada dos (Y_i-\mu)^2 é o \sigma^2 populacional (definido com denominador N).

Passo 4

Calcular E\!\left[n(\bar{Y}-\mu)^{2}\right]=n\\ Var(\bar{Y}). Precisamos da variância da média amostral em AASs. Um resultado padrão em teoria de amostragem (e que vale para amostra simples sem reposição) é
Var(\bar{Y})=\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{S^{2}}{n},
onde S^{2} é a variância populacional definida com denominador N-1, isto é
S^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{j=1}^{N}(Y_{j}-\mu)^{2}=\tilde{\sigma}^{2}.
Explico: o fator 1-\frac{n}{N} é o fator de correção pela amostragem sem reposição (finite population correction). Assim, substituindo S^{2}=\tilde{\sigma}^{2} e lembrando que \tilde{\sigma}^{2}=\frac{N}{N-1}\sigma^{2}, obtemos
Var(\bar{Y})=\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{\tilde{\sigma}^{2}}{n} =\frac{N-n}{N}\cdot\frac{1}{n}\cdot\tilde{\sigma}^{2} =\frac{N-n}{N}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{N}{N-1}\sigma^{2} =\frac{N-n}{n(N-1)}\sigma^{2}.
Portanto
n\,Var(\bar{Y})=\frac{N-n}{N-1}\sigma^{2}.

Passo 5

Agora voltamos à identidade do Passo 2 e tomamos expectativas:
E[T]=E\!\left[\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\bar{Y})^{2}\right] =E\!\left[\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu)^{2}\right]-n\,Var(\bar{Y}).
Substituindo os resultados do Passo 3 e do Passo 4:
E[T]=n\sigma^{2}-\frac{N-n}{N-1}\sigma^{2}.
Faço a álgebra para simplificar (mostro passo a passo):
E[T]=\sigma^{2}\left(n-\frac{N-n}{N-1}\right).
Colocando sobre denominador comum (N-1):
n-\frac{N-n}{N-1}=\frac{n(N-1)-(N-n)}{N-1}=\frac{nN-n-N+n}{N-1}=\frac{N(n-1)}{N-1}.
Logo
E[T]=\sigma^{2}\cdot\frac{N(n-1)}{N-1}.

Passo 6

Agora derivamos as expectativas dos estimadores pedidas. Lembre que
\displaystyle s^{2}=\frac{T}{\,n-1\,} e \displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{T}{n}.
Primeiro s^{2}:
E[s^{2}]=\frac{E[T]}{\,n-1\,} =\frac{\sigma^{2}\cdot\frac{N(n-1)}{N-1}}{\,n-1\,} =\sigma^{2}\cdot\frac{N}{N-1}.
Mas \displaystyle \tilde{\sigma}^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{j=1}^{N}(Y_{j}-\mu)^{2}=\frac{N}{N-1}\sigma^{2}. Portanto
E[s^{2}]=\tilde{\sigma}^{2}.
Conclusão imediata: s^{2} é não-viciado (unbiased) para estimar \tilde{\sigma}^{2}.

Passo 7

Agora \hat{\sigma}^{2}:
E[\hat{\sigma}^{2}]=\frac{E[T]}{n} =\frac{\sigma^{2}\cdot\frac{N(n-1)}{N-1}}{n} =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{N}{N-1}\sigma^{2}.
Usando \tilde{\sigma}^{2}=\frac{N}{N-1}\sigma^{2} podemos escrever
E[\hat{\sigma}^{2}]=\frac{n-1}{n}\,\tilde{\sigma}^{2}.
Portanto \hat{\sigma}^{2} é viciado para estimar \tilde{\sigma}^{2}: tem viés multiplicativo de (n-1)/n (ou seja, tende a subestimar \tilde{\sigma}^{2}).

Passo 8

Interpretando as duas perguntas do enunciado:
  • Para estimar \tilde{\sigma}^{2}: s^{2} é não-viciado; \hat{\sigma}^{2} é viciado (subestima), com E[\hat{\sigma}^{2}]=\frac{n-1}{n}\tilde{\sigma}^{2}.
  • Para estimar \sigma^{2}: como \tilde{\sigma}^{2}=\frac{N}{N-1}\sigma^{2}, temos
E[s^{2}]=\frac{N}{N-1}\sigma^{2}\quad\text{e}\quad E[\hat{\sigma}^{2}]=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{N}{N-1}\sigma^{2}.
Portanto ambos são viciados quando o parâmetro alvo é \sigma^{2}: s^{2} sobreestima \sigma^{2} por fator N/(N-1), e \hat{\sigma}^{2} tem viés composto indicado acima.

Resposta

Sim. Ambos são viciados para estimar \sigma^{2}: E[s^{2}]=\dfrac{N}{N-1}\sigma^{2} e E[\hat{\sigma}^{2}]=\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{N}{N-1}\sigma^{2}.
Para \tilde{\sigma}^{2}: s^{2} não é viciado ( E[s^{2}]=\tilde{\sigma}^{2}), enquanto \hat{\sigma}^{2} é viciado com E[\hat{\sigma}^{2}]=\dfrac{n-1}{n}\,\tilde{\sigma}^{2}.

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