[2 pontos] Os estimadores
e
são viciados para estimar
em cenário AASs? Eles são viciados para estimar
?
Lembre-se que
e
. Os parâmetros são:
e
.
Lembre-se que
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas claras:
- Os estimadores
e são viciados ao estimar ? - Os mesmos estimadores são viciados ao estimar
?
Informações dadas (vou copiar exatamente as definições do enunciado):
.
.
.
.
Condição implícita: estamos em AASs (amostra aleatória simples sem reposição) de tamanho
retirada de uma população finita de tamanho
. Não começo a calcular ainda — só listei o que é pedido e o que é dado.
Passo 2
Primeiro passo técnico que usamos sempre: escrever a soma de quadrados relative à média amostral em termos da média populacional. Defina
Usamos a identidade algébrica (explicar porque ela é útil):
Intuição: dispersão em torno da média amostral = dispersão em torno da média populacional menos o pedaço que foi “explicado” ao centrar pela média amostral. Vamos tomar expectativa em ambos os lados.
Passo 3
Calcular
.
Como a amostra é aleatória simples sem reposição, a esperança do quadrado de qualquer observação amostrada é a média dos quadrados na população. Logo a esperança da soma sobre as observações é
Como a amostra é aleatória simples sem reposição, a esperança do quadrado de qualquer observação amostrada é a média dos quadrados na população. Logo a esperança da soma sobre as
Isso é direto: estamos apenas escolhendo
elementos ao acaso sem reposição, então a média esperada dos
é o
populacional (definido com denominador
).
Passo 4
Calcular
. Precisamos da variância da média amostral em AASs. Um resultado padrão em teoria de amostragem (e que vale para amostra simples sem reposição) é
onde
é a variância populacional definida com denominador
, isto é
Explico: o fator
é o fator de correção pela amostragem sem reposição (finite population correction). Assim, substituindo
e lembrando que
, obtemos
Portanto
Passo 5
Agora voltamos à identidade do Passo 2 e tomamos expectativas:
Substituindo os resultados do Passo 3 e do Passo 4:
Faço a álgebra para simplificar (mostro passo a passo):
Colocando sobre denominador comum
:
Logo
Passo 6
Agora derivamos as expectativas dos estimadores pedidas. Lembre que
e
.
Primeiro
:
Mas
. Portanto
Conclusão imediata:
é não-viciado (unbiased) para estimar
.
Passo 7
Agora
:
Usando
podemos escrever
Portanto
é viciado para estimar
: tem viés multiplicativo de
(ou seja, tende a subestimar
).
Passo 8
Interpretando as duas perguntas do enunciado:
-
Para estimar
: é não-viciado; é viciado (subestima), com . -
Para estimar
: como , temos
Portanto ambos são viciados quando o parâmetro alvo é
:
sobreestima
por fator
, e
tem viés composto indicado acima.
Resposta
Sim. Ambos são viciados para estimar
:
e
.
Para
:
não é viciado (
), enquanto
é viciado com
.