[2.0 pontos] (2) Seja
para
. É possível definir
de forma a tornar
contínua na origem? Por quê? Justifique suas respostas!
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para
, e pergunta se é possível definir
de modo que
fique contínua na origem.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão analítica de
quando . - Queremos saber se existe um valor único
tal que, ao definirmos , a função seja contínua em . Ou seja, precisamos verificar se existe
e, em caso afirmativo, qual é esse limite. Se esse limite não existir, então não é possível escolher
para obter continuidade.
Passo 2
Lembra do conceito importante: para
ser contínua em
é necessário e suficiente que exista o limite
e que esse limite seja igual a
. Ou seja, primeiro precisamos verificar se o limite existe. Uma ferramenta prática para testar existência de limite em funções de duas variáveis é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam da origem: se obtivermos valores diferentes por caminhos distintos, o limite não existe. Vou aplicar essa ideia.
Passo 3
Vamos aproximar pela reta
. Substituindo
na fórmula (e lembrando de não tomar o ponto
exatamente), temos, para
,
Portanto o limite ao longo dessa reta é
Interpretação: se nos aproximarmos da origem ao longo do eixo
(isto é,
), a função tende a
.
Passo 4
Agora aproximemos pela reta
. Substituindo
(com
e
) obtemos
Então
Interpretação: se nos aproximarmos da origem pelo eixo
(isto é,
), a função tende a
.
Passo 5
Temos dois caminhos que dão limites distintos: pela reta
o limite é
e pela reta
o limite é
. Como os dois limites laterais (por caminhos diferentes) não coincidem, concluímos que o limite total
não existe. Vou reforçar com uma família de caminhos para ver que dá ainda mais dependência do caminho.
Passo 6
Considere os caminhos parametrizados por
, com
fixo e
. Note que para esse caminho temos
logo, para
(e pontos com
evitando denominação zero), a expressão fica
Portanto
Essa quantidade depende de
. Por exemplo:
- para
obtemos (caso já visto, reta ); - para
obtemos ; - o caso
daria denomínio zero (esses pontos não estão no domínio da função), por isso escolhemos .
Isso mostra que, variando o caminho (variando), obtemos diferentes limites numéricos. Logo o limite em não é único.
Passo 7
Conclusão lógica: como o limite de
quando
depende do caminho e, portanto, não existe um único limite, não existe valor
tal que
Se não existe o limite, não há como definir
para tornar
contínua na origem (porque, para continuidade, teríamos que definir
igual a esse limite).
Resposta
Não. Não é possível definir
para tornar
contínua na origem, porque
não existe (por exemplo, ao longo
o limite é
e ao longo
o limite é
; mais geralmente ao longo
o limite é
, que depende de
).