[2.0 pontos] (2) Seja f(x, y)=\frac{x^{2}}{x^{2}-y^{3}} para (x, y) \neq(0,0). É possível definir f(0,0) de forma a tornar f contínua na origem? Por quê? Justifique suas respostas!

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x,y)=\frac{x^{2}}{x^{2}-y^{3}}
para (x,y)\neq(0,0), e pergunta se é possível definir f(0,0) de modo que f fique contínua na origem.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão analítica de f(x,y) quando (x,y)\neq(0,0).
  • Queremos saber se existe um valor único L tal que, ao definirmos f(0,0)=L, a função seja contínua em (0,0). Ou seja, precisamos verificar se existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{3}}
e, em caso afirmativo, qual é esse limite. Se esse limite não existir, então não é possível escolher f(0,0) para obter continuidade.

Passo 2

Lembra do conceito importante: para f ser contínua em (0,0) é necessário e suficiente que exista o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
e que esse limite seja igual a f(0,0). Ou seja, primeiro precisamos verificar se o limite existe. Uma ferramenta prática para testar existência de limite em funções de duas variáveis é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam da origem: se obtivermos valores diferentes por caminhos distintos, o limite não existe. Vou aplicar essa ideia.

Passo 3

Vamos aproximar pela reta y=0. Substituindo y=0 na fórmula (e lembrando de não tomar o ponto (0,0) exatamente), temos, para x\to0,
f(x,0)=\frac{x^{2}}{x^{2}-0}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Portanto o limite ao longo dessa reta é
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=0} f(x,y)=1.
Interpretação: se nos aproximarmos da origem ao longo do eixo x (isto é, y=0), a função tende a 1.

Passo 4

Agora aproximemos pela reta x=0. Substituindo x=0 (com y\to0 e (0,y)\neq(0,0)) obtemos
f(0,y)=\frac{0^{2}}{0^{2}-y^{3}}=\frac{0}{-y^{3}}=0.
Então
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x=0} f(x,y)=0.
Interpretação: se nos aproximarmos da origem pelo eixo y (isto é, x=0), a função tende a 0.

Passo 5

Temos dois caminhos que dão limites distintos: pela reta y=0 o limite é 1 e pela reta x=0 o limite é 0. Como os dois limites laterais (por caminhos diferentes) não coincidem, concluímos que o limite total
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{3}}
não existe. Vou reforçar com uma família de caminhos para ver que dá ainda mais dependência do caminho.

Passo 6

Considere os caminhos parametrizados por y=m\,x^{2/3}, com m fixo e m\neq 1. Note que para esse caminho temos
y^{3}=(m\,x^{2/3})^{3}=m^{3}x^{2},
logo, para x\to0 (e pontos com m\neq1 evitando denominação zero), a expressão fica
f(x,mx^{2/3})=\frac{x^{2}}{x^{2}-m^{3}x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}(1-m^{3})}=\frac{1}{1-m^{3}}.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=mx^{2/3}} f(x,y)=\frac{1}{1-m^{3}}.
Essa quantidade depende de m. Por exemplo:
  • para m=0 obtemos 1/(1-0)=1 (caso já visto, reta y=0);
  • para m=2 obtemos 1/(1-8)=-1/7;
  • o caso m=1 daria denomínio zero (esses pontos não estão no domínio da função), por isso escolhemos m\neq1.
    Isso mostra que, variando o caminho (variando m), obtemos diferentes limites numéricos. Logo o limite em (0,0) não é único.

Passo 7

Conclusão lógica: como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) depende do caminho e, portanto, não existe um único limite, não existe valor L tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
Se não existe o limite, não há como definir f(0,0) para tornar f contínua na origem (porque, para continuidade, teríamos que definir f(0,0) igual a esse limite).

Resposta

Não. Não é possível definir f(0,0) para tornar f contínua na origem, porque
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2}-y^{3}}
não existe (por exemplo, ao longo y=0 o limite é 1 e ao longo x=0 o limite é 0; mais geralmente ao longo y=mx^{2/3} o limite é \dfrac{1}{1-m^{3}}, que depende de m).

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