Sejam \vec{F}(t)=(t, sen t, 2) e \vec{G}(t)=\left(3, t, t^{2}\right). Calcule
\vec{F}(t) \wedge \vec{G}(t)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o produto vetorial (indicado por \wedge) entre os vetores \vec{F}(t) e \vec{G}(t).
Informações dadas:
\vec{F}(t) = (t,\\ \sin t,\\\ 2)
\vec{G}(t) = (3,\\ t,\\ t^{2})
Não foi pedida nenhuma simplificação especial além do cálculo explícito de \vec{F}(t)\wedge \vec{G}(t).

Passo 2

O que é o produto vetorial (de forma prática para a prova): para dois vetores em \mathbb{R}^{3},
\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\qquad \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}),
o produto vetorial \vec{a}\wedge\vec{b} é um novo vetor dado por
\vec{a}\wedge\vec{b} = \bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\; a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\; a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr).
Explicação das fórmulas: cada componente é o determinante 2×2 formado por “ignorarmos” a linha do componente correspondente. Por exemplo, a primeira componente usa a_{2},a_{3},b_{2},b_{3}. Esse vetor resultante é ortogonal (perpendicular) a \vec{a} e \vec{b} — útil para conferir se quiser.

Passo 3

Identificamos os componentes de \vec{F} e \vec{G}:
\vec{F}(t)=(F_{1},F_{2},F_{3})=(t,\\ \sin t,\\\ 2),
\vec{G}(t)=(G_{1},G_{2},G_{3})=(3,\\ t,\\ t^{2}).

Passo 4

Calculamos a primeira componente usando F_{2}G_{3}-F_{3}G_{2}.
Substituindo:
F_{2}G_{3}-F_{3}G_{2} = (\sin t)\cdot (t^{2}) - 2\cdot t.
Fazendo a multiplicação:
(\sin t)\cdot (t^{2}) - 2t = t^{2}\sin t - 2t.

Passo 5

Calculamos a segunda componente usando F_{3}G_{1}-F_{1}G_{3}.
Substituindo:
F_{3}G_{1}-F_{1}G_{3} = 2\cdot 3 - t\cdot t^{2}.
Fazendo as multiplicações:
2\cdot 3 - t\cdot t^{2} = 6 - t^{3}.

Passo 6

Calculamos a terceira componente usando F_{1}G_{2}-F_{2}G_{1}.
Substituindo:
F_{1}G_{2}-F_{2}G_{1} = t\cdot t - (\sin t)\cdot 3.
Fazendo as multiplicações:
t\cdot t - 3\sin t = t^{2} - 3\sin t.

Passo 7

Juntando as três componentes obtidas, o produto vetorial é
\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)=\bigl(t^{2}\sin t - 2t,\; 6 - t^{3},\; t^{2} - 3\sin t\bigr).
Pequena verificação mental (pra te deixar mais confiante): se t=0 temos (0,6,0), que faz sentido porque \vec{G}(0)=(3,0,0) e \vec{F}(0)=(0,0,2), e (0,6,0) é perpendicular a ambos — sinal de que o cálculo está coerente.

Resposta

\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)=\bigl(t^{2}\sin t - 2t,\\\ 6 - t^{3},\\ t^{2} - 3\sin t\bigr)

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