(b) Considerando que y(t)=0,1 \int_{t-10}^{t} x^{2}(\tau) d \tau é um sistema projetado para extrair informação do sinal ECG, classifique-o quanto à invariância no tempo e causalidade.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y(t)=0,1\int_{t-10}^{t} x^{2}(\tau)\,d\tau
e pede para classificá‑lo quanto à:
  • invariância no tempo (ou time‑invariance);
  • causalidade.
As informações relevantes do enunciado são:
  • a saída é a integral no intervalo [t-10,t] da entrada ao quadrado, multiplicada por 0,1;
  • a integração envolve valores de x(\tau) para \tau entre t-10 e t.

Passo 2

Definição de causalidade (explicada devagar e com exemplo simples).
  • Um sistema é causal se, para qualquer tempo t, a saída y(t) depende apenas de valores de entrada com índices de tempo \tau menores ou iguais a t (ou seja, do passado e do presente), e não de valores futuros \tau>t.
  • Exemplo prático: se y(t)=x(t-2) então é causal porque para calcular y(t) só precisa de x em \tau=t-2\le t. Se fosse y(t)=x(t+1) seria não causal porque precisa de x no futuro.
Aplicando ao sistema dado:
y(t)=0,1\int_{t-10}^{t} x^{2}(\tau)\,d\tau
  • Para um determinado t, a integral usa \tau no intervalo [t-10,t]. Todos esses \tau satisfazem \tau\le t (não há \tau>t).
  • Portanto, a saída em t depende somente de valores de x(\tau) até o instante t (inclui o presente \tau=t e os 10 segundos no passado).
    Conclusão parcial: o sistema é causal.

Passo 3

Definição de invariância no tempo (explicada devagar e com exemplo).
  • Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento (shift) na entrada produz exatamente o mesmo deslocamento na saída. Formalmente: se a entrada deslocada for x_{t_0}(t)=x(t-t_0), então a saída correspondente y_{t_0}(t) deve satisfazer y_{t_0}(t)=y(t-t_0) para todo t e todo deslocamento t_0.
  • Exemplo: o sistema y(t)=x(t)+2 é invariante no tempo porque deslocar x desloca y da mesma forma. Já y(t)=t\cdot x(t) não é invariante porque o fator t muda com o deslocamento.

Passo 4

Teste de invariância no tempo passo a passo.
  • Tome uma entrada deslocada x_{t_0}(t)=x(t-t_0).
  • Calcule a saída correspondente y_{t_0}(t):
y_{t_0}(t)=0,1\int_{t-10}^{t} x_{t_0}^{2}(\tau)\,d\tau =0,1\int_{t-10}^{t} \bigl(x(\tau-t_0)\bigr)^{2}\,d\tau.
  • Faça a mudança de variável \theta=\tau-t_0. Então d\theta=d\tau. Quando \tau=t-10 tem \theta=t-10-t_0. Quando \tau=t tem \theta=t-t_0. Substituindo:
y_{t_0}(t)=0,1\int_{t-10-t_0}^{\,t-t_0} x^{2}(\theta)\,d\theta.
  • Observe que essa última expressão é exatamente y avaliado em (t-t_0):
y(t-t_0)=0,1\int_{(t-t_0)-10}^{\,t-t_0} x^{2}(\theta)\,d\theta =0,1\int_{t-10-t_0}^{\,t-t_0} x^{2}(\theta)\,d\theta.
  • Portanto
y_{t_0}(t)=y(t-t_0)
para qualquer t_0. Isso significa que o deslocamento na entrada resulta no mesmo deslocamento na saída: o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Resumo das propriedades aprendidas e observações extras didáticas.
  • Causalidade: como a saída em t usa apenas x(\tau) para \tau\le t, o sistema é causal (não antecipa o futuro).
  • Invariância no tempo: o teste de deslocamento mostra y_{t_0}(t)=y(t-t_0) para todo t_0, logo o sistema é invariante no tempo.
  • Observação adicional (útil para prova): o fato de aparecer x^{2}(\tau) torna o sistema não linear (a operação de quadrado não satisfaz aditividade/homogeneidade), mas isso não afeta as classificações de causalidade e invariança no tempo. Só acrescento como curiosidade para você não confundir propriedades.

Resposta

Invariante no tempo.
Causal.

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