(b) Considerando que
é um sistema projetado para extrair informação do sinal ECG, classifique-o quanto à invariância no tempo e causalidade.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para classificá‑lo quanto à:
- invariância no tempo (ou time‑invariance);
- causalidade.
As informações relevantes do enunciado são:
- a saída é a integral no intervalo
da entrada ao quadrado, multiplicada por ; - a integração envolve valores de
para entre e .
Passo 2
Definição de causalidade (explicada devagar e com exemplo simples).
- Um sistema é causal se, para qualquer tempo
, a saída depende apenas de valores de entrada com índices de tempo menores ou iguais a (ou seja, do passado e do presente), e não de valores futuros . - Exemplo prático: se
então é causal porque para calcular só precisa de em . Se fosse seria não causal porque precisa de no futuro.
Aplicando ao sistema dado:
- Para um determinado
, a integral usa no intervalo . Todos esses satisfazem (não há ). - Portanto, a saída em
depende somente de valores de até o instante (inclui o presente e os 10 segundos no passado).
Conclusão parcial: o sistema é causal.
Passo 3
Definição de invariância no tempo (explicada devagar e com exemplo).
- Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento (shift) na entrada produz exatamente o mesmo deslocamento na saída. Formalmente: se a entrada deslocada for
, então a saída correspondente deve satisfazer para todo e todo deslocamento . - Exemplo: o sistema
é invariante no tempo porque deslocar desloca da mesma forma. Já não é invariante porque o fator muda com o deslocamento.
Passo 4
Teste de invariância no tempo passo a passo.
- Tome uma entrada deslocada
. - Calcule a saída correspondente
:
- Faça a mudança de variável
. Então . Quando tem . Quando tem . Substituindo:
- Observe que essa última expressão é exatamente
avaliado em :
- Portanto
para qualquer
. Isso significa que o deslocamento na entrada resulta no mesmo deslocamento na saída: o sistema é invariante no tempo.
Passo 5
Resumo das propriedades aprendidas e observações extras didáticas.
- Causalidade: como a saída em
usa apenas para , o sistema é causal (não antecipa o futuro). - Invariância no tempo: o teste de deslocamento mostra
para todo , logo o sistema é invariante no tempo. - Observação adicional (útil para prova): o fato de aparecer
torna o sistema não linear (a operação de quadrado não satisfaz aditividade/homogeneidade), mas isso não afeta as classificações de causalidade e invariança no tempo. Só acrescento como curiosidade para você não confundir propriedades.
Resposta
Invariante no tempo.
Causal.
Causal.