Dadas as funções abaixo, determine os parâmetros e esboce, num mesmo eixo, as curvas de v ou i em função do tempo.
v_{1}(t)=100,0 \operatorname{sen}(1000 t) ; v_{2}(t)=60,0 \operatorname{sen}\left(1000 t+90^{\circ}\right) e i_{1}(t)=30,0 \operatorname{sen}\left(1000 t-45^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá três sinais senoidais e pede que se determinem os parâmetros de cada um e que se esbocem, no mesmo eixo temporal, as curvas de v ou i em função do tempo. As informações dadas são (peguei todas elas do enunciado):
  • v_{1}(t)=100,0\\ \operatorname{sen}(1000\,t).
  • v_{2}(t)=60,0\\ \operatorname{sen}\!\bigl(1000\,t+90^{\circ}\bigr).
  • i_{1}(t)=30,0\\ \operatorname{sen}\!\bigl(1000\,t-45^{\circ}\bigr).
O que o problema pede explicitamente:
  • Determinar os parâmetros de cada função (amplitude, frequência/periodo, velocidade angular, fase, deslocamento temporal relativo).
  • Esboçar (descrever como desenhar) no mesmo eixo temporal as três curvas, mostrando suas relações de fase (quem lidera, quem atrasa) e marcar pontos importantes para o esboço.

Passo 2

Vamos lembrar a forma geral de uma senóide e o significado de cada parâmetro (mini-aula bem direta para usar na prova).
A forma geral é
x(t)=X_{m}\,\sin(\omega t+\varphi),
onde:
  • X_{m} é a amplitude (valor máximo, unidade: V para tensões, A para correntes).
  • \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
  • \varphi é a fase inicial em radianos (pode ser dada em graus; para operar convém converter: \varphi_{\text{rad}}=\dfrac{\pi}{180^\circ}\varphi_{\text{deg}}).
  • A frequência é f=\dfrac{\omega}{2\pi} (Hz).
  • O período é T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega} (s).
  • Uma fase positiva ( \varphi>0) significa que a senóide “antecede” (lead) no tempo em relação a uma referência; fase negativa significa que ela “atrasa” (lags). O deslocamento temporal correspondente é
\tau=\frac{\varphi}{\omega},
com \tau>0 significando avanço no tempo (ocorre antes) e \tau<0 significando atraso, lembrando que \sin(\omega t+\varphi)=\sin\!\bigl(\omega(t+\varphi/\omega)\bigr).
Na prova é útil marcar:
  • valor no instante t=0: x(0)=X_m\sin(\varphi).
  • instante do primeiro máximo (maior positivo) dentro de t\ge0: resolver \omega t+\varphi=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t_{\max}=\dfrac{\pi/2-\varphi}{\omega}.
Agora aplicamos isso a cada sinal.

Passo 3

Dados:
v_{1}(t)=100,0\\ \sin(1000\,t).
Identificando parâmetros:
  • Amplitude: V_{1m}=100,0 (unidade: V).
  • Velocidade angular: \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fase: \varphi_{1}=0^\circ=0\\ \text{rad}.
Frequência e período:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1000}{2\pi}\approx 159{,}155\\ \mathrm{Hz}, \qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{1000}\approx 0{,}006283\\ \mathrm{s}=6{,}283\\ \mathrm{ms}.
Valor no instante t=0:
v_{1}(0)=100,0\sin(0)=0\\ \mathrm{V}.
Instante do primeiro máximo (resolver \omega t+\varphi_{1}=\pi/2):
t_{1,\max}=\frac{\pi/2-0}{1000}=\frac{\pi}{2000}\approx 0{,}001571\\ \mathrm{s}=1{,}571\\ \mathrm{ms},
e o máximo v_{1}(t_{1,\max})=100,0\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Dados:
v_{2}(t)=60,0\\ \sin\!\bigl(1000\,t+90^{\circ}\bigr).
Identificando parâmetros:
  • Amplitude: V_{2m}=60,0\\ \mathrm{V}.
  • \omega=1000\\ \mathrm{rad/s} (mesmo de v_1).
  • Fase: \varphi_{2}=90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}.
Frequência e período são iguais aos de v_1: f\approx159{,}155\\ \mathrm{Hz}, T\approx6{,}283\\ \mathrm{ms}.
Valor no instante t=0:
v_{2}(0)=60,0\sin\!\bigl(90^{\circ}\bigr)=60,0\cdot 1=60,0\\ \mathrm{V}.
Instante do primeiro máximo:
t_{2,\max}=\frac{\pi/2-\varphi_{2}}{1000}=\frac{\pi/2-\pi/2}{1000}=0\\ \mathrm{s},
ou seja, v_{2} atinge o máximo no instante t=0 (por isso v_{2}(0)=60,0\\ \mathrm{V}).
Deslocamento temporal relativo entre v_2 e v_1:
\Delta t_{2-1}=\frac{\varphi_{2}-\varphi_{1}}{\omega}=\frac{\pi/2-0}{1000}=\frac{\pi}{2000}\approx 0{,}001571\\ \mathrm{s}=1{,}571\\ \mathrm{ms}.
Interpretação: v_{2} lidera v_{1} por 1{,}571\\ \mathrm{ms} (ou por 90^{\circ}).

Passo 5

Dados:
i_{1}(t)=30,0\\ \sin\!\bigl(1000\,t-45^{\circ}\bigr).
Identificando parâmetros:
  • Amplitude: I_{1m}=30,0\\ \mathrm{A}.
  • \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fase: \varphi_{i}=-45^{\circ}=-\dfrac{\pi}{4}\\ \text{rad}.
Frequência e período iguais aos anteriores: f\approx159{,}155\\ \mathrm{Hz}, T\approx6{,}283\\ \mathrm{ms}.
Valor no instante t=0:
i_{1}(0)=30,0\sin\!\bigl(-45^{\circ}\bigr)=30,0\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=-15{,}000\sqrt{2}\approx -21{,}213\\ \mathrm{A}.
Instante do primeiro máximo:
t_{i,\max}=\frac{\pi/2-\varphi_{i}}{1000}=\frac{\pi/2-(-\pi/4)}{1000}=\frac{3\pi/4}{1000}\approx 0{,}002356\\ \mathrm{s}=2{,}356\\ \mathrm{ms},
e então i_{1}(t_{i,\max})=30{,}0\\ \mathrm{A}.
Deslocamento temporal relativo entre i_{1} e v_{1}:
\Delta t_{i-1}=\frac{\varphi_{i}-\varphi_{1}}{\omega}=\frac{-\pi/4-0}{1000}=-\frac{\pi}{4000}\approx -0{,}0007854\\ \mathrm{s}=-0{,}7854\\ \mathrm{ms}.
Interpretação: i_{1} atrasa em relação a v_{1} por 0{,}7854\\ \mathrm{ms} (ou por 45^{\circ}).

Passo 6

Para esboçar as três curvas no mesmo eixo temporal (faça no papel com eixo horizontal tempo e eixo vertical tensão/corrente):
  1. Use o mesmo período T\approx 6{,}283\\ \mathrm{ms}. Esboce de t=0 até, por exemplo, t=T para ver uma ciclagem completa.
  2. Marque no eixo de tempo os instantes importantes:
    • t=0.
    • t_{2,\max}=0\\ \mathrm{ms} (máximo de v_2).
    • t_{1,\max}\approx 1{,}571\\ \mathrm{ms} (máximo de v_1).
    • t_{i,\max}\approx 2{,}356\\ \mathrm{ms} (máximo de i_1).
    • Também marque T/2\approx 3{,}142\\ \mathrm{ms} para visualizar inversões.
  3. Amplitudes máximas no eixo vertical: desenhe linhas de referência em +100,0\\ \mathrm{V} e -100,0\\ \mathrm{V} (para v); para v_2 máximo em +60,0\\ \mathrm{V}; para i_1 máximo em +30,0\\ \mathrm{A}. Se desenhar tensões e corrente na mesma figura, use escalas adequadas ou desenhe corrente em outro eixo vertical (à direita) — mas o pedido é só “num mesmo eixo”, então escolha uma escala onde todas caibam (por exemplo, 1 unidade vertical = 10 V, e 1 A fica pequeno comparado; escreva a legenda).
  4. Valores nos instantes de amostra:
    • Em t=0: v_{1}=0\\ \mathrm{V}, v_{2}=60{,}0\\ \mathrm{V}, i_{1}\approx -21{,}213\\ \mathrm{A}.
    • Em t=t_{1,\max}\approx 1{,}571\\ \mathrm{ms}: v_{1}=100{,}0\\ \mathrm{V}, v_{2}=0\\ \mathrm{V} (porque 1000t+\pi/2 neste t \pi, seno zero), i_{1}\approx 21{,}213\\ \mathrm{A} ou calcule exatamente se desejar.
    • Em t=t_{i,\max}\approx 2{,}356\\ \mathrm{ms}: i_{1}=30{,}0\\ \mathrm{A}, v_{1}\approx 70{,}710\\ \mathrm{V} (pois \sin(2{,}356)\approx \tfrac{\sqrt{2}}{2}), v_{2}\approx -42{,}426\\ \mathrm{V}.
  5. Natureza das curvas:
    • v_{2} está adiantada 90^{\circ} em relação a v_{1}: ela atinge seu pico no t=0, enquanto v_{1} precisa de 1{,}571\\ \mathrm{ms}.
    • i_{1} atrasa 45^{\circ} em relação a v_{1}: seu pico ocorre depois do pico de v_{1}.
  6. Ao desenhar, trace senóides suaves que passam pelos pontos marcados; a ordem temporal dos picos será: primeiro v_{2} (em t=0), depois v_{1} (em 1{,}571\\ \mathrm{ms}), depois i_{1} (em 2{,}356\\ \mathrm{ms}). Isso já dá o esboço conceitual das três curvas no mesmo eixo.

Resposta

v_{1}(t):\\ V_{1m}=100{,}0\\ \mathrm{V},\\ \omega=1000\\ \mathrm{rad/s},\\ \varphi_{1}=0^\circ=0\\ \text{rad},\\ f\approx159{,}155\\ \mathrm{Hz},\\ T\approx6{,}283\\ \mathrm{ms},\\ v_{1}(0)=0\\ \mathrm{V},\\ t_{1,\max}=\dfrac{\pi}{2000}\approx1{,}571\\ \mathrm{ms}.
v_{2}(t):\\ V_{2m}=60{,}0\\ \mathrm{V},\\ \omega=1000\\ \mathrm{rad/s},\\ \varphi_{2}=90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad},\\ f\approx159{,}155\\ \mathrm{Hz},\\ T\approx6{,}283\\ \mathrm{ms},\\ v_{2}(0)=60{,}0\\ \mathrm{V},\\ t_{2,\max}=0,\\ \text{(}v_{2}\\ \text{lidera}\\ v_{1}\\ \text{por }90^\circ\text{ = }1{,}571\\ \mathrm{ms}).
i_{1}(t):\ I_{1m}=30{,}0\ \mathrm{A},\ \omega=1000\ \mathrm{rad/s},\ \varphi_{i}=-45^\circ=-\dfrac{\pi}{4}\ \text{rad},\ f\approx159{,}155\ \mathrm{Hz},\ T\approx6{,}283\ \mathrm{ms},\ i_{1}(0)\approx -21{,}213\ \mathrm{A},\ t_{i,\max}=\dfrac{3\pi}{4000}\approx2{,}356\ \mathrm{ms},\ \text{(}i_{1}\ \text{atrasa}\ v_{1}\ \text{por }45^\circ\text{ = }0{,}785\ \mathrm{ms}).

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